阿列夫數
在數學中，特別是在集合論中，阿列夫數是一個數字序列，用於表示可以有序排列的無限集的基數（或大小）。它們由數學家Georg Cantor [1]引入，並以他用來表示它們的符號命名，希伯來字母aleph (
ℵ
{\displaystyle \,\aleph \,}
）。[2] [一]
自然數的基數是
ℵ
0
{\displaystyle \,\aleph _{0}\,}
（讀作aleph-nought或aleph-zero ；有時也使用術語aleph-null ），可良序集的下一個更大的基數是 aleph-one
ℵ
1
,
{\displaystyle \,\aleph _{1}\;,}
然後
ℵ
2
{\displaystyle \,\aleph _{2}\,}
等等。以這種方式繼續，可以定義一個基數
ℵ
α
{\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}
對於每個序數
α
,
{\displaystyle \,\alpha \;,}
如下所述。
這個概念和符號歸功於Georg Cantor，[5]，他定義了基數的概念，並意識到無限集可以有不同的基數。
aleph 數不同於無窮大(
∞
{\displaystyle \,\infty \,}
) 常見於代數和微積分中，因為 alephs 測量集合的大小，而無窮大通常被定義為實數線的極端極限（應用於“發散到無窮大”或“不增加”的函數或序列bound")，或作為擴展實數線的極值點。
（aleph-nought，也 aleph-zero 或 aleph-null）是所有自然數集合的基數，並且是無限基數。所有有限序數的集合，稱為
ω
{\displaystyle \,\omega \,}
或者
ω
0
{\displaystyle \,\omega _{0}\,}
（在哪裡
ω
{\displaystyle \,\omega \,}
是小寫的希臘字母omega )，具有基數
ℵ
0
.
{\displaystyle \,\aleph _{0}\;.}
集合有基數
ℵ
0
{\displaystyle \,\aleph _{0}\,}
當且僅當它是可數無限的，即它與自然數之間存在雙射（一一對應）。這種集合的例子是
所有整數的集合，
整數的任何無限子集，例如所有平方數的集合或所有素數的集合，
所有有理數的集合，
所有可構造數的集合（在幾何意義上），
所有代數數的集合，
所有可計算數的集合，
所有有限長度二進製字符串的集合，以及
任何給定的可數無限集的所有有限子集的集合。
這些無限序數：
ω
,
{\displaystyle \,\omega \;,}
ω
+
1
,
{\displaystyle \,\omega +1\;,}
ω
⋅
2
,
{\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,,\,}
ω
2
,
{\displaystyle \,\omega ^{2}\,,}
ω
ω
{\displaystyle \,\omega ^{\omega }\,}
和
ε
0
{\displaystyle \,\varepsilon _{0}\,}
屬於可數無限集。[6]例如，所有正奇數後跟所有正偶數的序列（序數為 ω·2）
{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,
.
.
.
,
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
.
.
.
}
{\displaystyle \,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,}
是集合的一個排序（具有基數
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
) 的正整數。
如果可數選擇公理（選擇公理的弱版本）成立，那麼
ℵ
0
{\displaystyle \,\aleph _{0}\,}
小於任何其他無限基數。
是所有可數序數集合的基數，稱為
ω
1
{\displaystyle \,\omega _{1}\,}
或者有時
Ω
.
{\displaystyle \,\Omega \;.}
這
ω
1
{\displaystyle \,\omega _{1}\,}
本身是一個大於所有可數數的序數，所以它是一個不可數集。所以，
ℵ
1
{\displaystyle \,\aleph _{1}\,}
不同於
ℵ
0
.
{\displaystyle \,\aleph _{0}\;.}
的定義
ℵ
1
{\displaystyle \,\aleph _{1}\,}
暗示（在 ZF 中，沒有選擇公理的Zermelo-Fraenkel 集合論 ）之間沒有基數
ℵ
0
{\displaystyle \,\aleph _{0}\,}
和
ℵ
1
.
{\displaystyle \,\aleph _{1}\;.}
如果使用選擇公理，可以進一步證明基數類是全序的，因此
ℵ
1
{\displaystyle \,\aleph _{1}\,}
是第二小的無限基數。使用選擇公理，可以顯示集合中最有用的屬性之一
ω
1
：
{\displaystyle \,\omega _{1}~:}
的任何可數子集
ω
1
{\displaystyle \,\omega _{1}\,}
有一個上限
ω
1
.
{\displaystyle \,\omega _{1}~.}
（這是因為可數集合的並集本身是可數的——這是選擇公理最常見的應用之一。）這個事實類似於
ℵ
0
{\displaystyle \,\aleph _{0}\;}
：每個有限自然數集都有一個最大值，它也是一個自然數，有限集的有限並集是有限的。
ω
1
{\displaystyle \,\omega _{1}~}
實際上是一個有用的概念，如果聽起來有點異國情調。一個示例應用程序是關於可數操作的“關閉”；例如，試圖明確描述由任意子集集合生成的σ-代數（參見Borel 層次結構）。這比代數（向量空間、群等）中對“生成”的大多數明確描述更難，因為在這些情況下，我們只需要對有限運算（求和、乘積等）進行閉運算。該過程涉及通過超限歸納為每個可數序數定義一個集合，該集合通過“拋出”所有可能的可數並集和補集，並採用所有這些的並集
ω
1
.
{\displaystyle \,\omega _{1}~.}
實數集的基數（連續統的基數）是
2
ℵ
0
.
{\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}~.}
它不能從ZFC（Zermelo-Fraenkel 集合論增加了選擇公理）確定，其中這個數完全符合 aleph 數層次結構，但從 ZFC 可以得出連續統假設CH等價於恆等式
2
ℵ
0
=
ℵ
1
.
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}
[7]
CH 指出不存在其基數嚴格介於整數和實數之間的集合。[8] CH 獨立於ZFC：在該公理系統的上下文中，它既不能被證明也不能被證明（前提是ZFC是一致的）。1940 年， Kurt Gödel證明了CH 與ZFC一致，當時他表明它的否定不是ZFC的定理。Paul Cohen在 1963年證明了它獨立於ZFC ，當時他通過（當時新的）強制方法證明了 CH 本身不是ZFC的定理. [7]
Aleph-omega 是
ℵ
ω
=
支持
{
ℵ
n
：
n
∈
ω
}
=
支持
{
ℵ
n
：
n
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
}
{\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph
_{n}:n\in \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n \in \left\{\,0,1,2,\dots
\,\right\}\,\}~}
其中最小的無限序數表示為ω。也就是基數
ℵ
ω
{\displaystyle \,\aleph _{\omega }\,}
是的最小上界
{
ℵ
n
：
n
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
}
.
{\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.}
ℵ
ω
{\displaystyle \,\aleph _{\omega }}
是第一個在 Zermelo-Fraenkel集合論中可以證明不等於所有實數集合的基數的不可數基數；對於任何正整數n，我們可以一致地假設
而且可以假設
和我們喜歡的一樣大。我們只是被迫避免將其設置為具有共定性的某些特殊基數
意味著有一個無界函數到它（見伊斯頓定理）。
界定
ℵ
α
{\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}
對於任意序數
α
,
{\displaystyle \,\alpha ~,}
我們必須定義後繼基數運算，它分配給任何基數
ρ
{\displaystyle \,\rho \,}
下一個更大的有序紅衣主教
ρ
+
{\displaystyle \,\rho ^{+}\,}
（如果選擇公理成立，這是下一個更大的基數）。
然後，我們可以如下定義 aleph 數：
ℵ
0
=
ω
{\displaystyle \aleph _{0}=\omega }
ℵ
α
+
1
=
ℵ
α
+
{\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~}
對於λ，一個無限極限序數，
ℵ
λ
=
⋃
β
<
λ
ℵ
β
.
{\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.}
第 α 個無限初始序數寫成
ω
α
{\displaystyle \omega _{\alpha }}
. 它的基數寫成
ℵ
α
.
{\displaystyle \,\aleph _{\alpha }~.}
在 ZFC 中，aleph 函數
ℵ
{\displaystyle \,\aleph \,}
是從序數到無限基數的雙射。[9]
對於任何序數α，我們有
α
≤
ω
α
.
{\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }~.}
在很多情況下
ω
α
{\displaystyle \omega _{\alpha }}
嚴格大於α。例如，對於任何後繼序數α，這成立。然而，由於普通函數的定點引理，有一些極限序數是omega 函數的不動點。第一個是序列的限制
ω
,
ω
ω
,
ω
ω
ω
,
…
.
{\displaystyle \omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.}
任何弱不可訪問的基數也是 aleph 函數的不動點。[10]這可以在 ZFC 中顯示如下。認為
κ
=
ℵ
λ
{\displaystyle \,\kappa =\aleph _{\lambda }\,}
是一個弱不可接近的紅衣主教。如果
λ
{\displaystyle \lambda }
是後繼序數，那麼
ℵ
λ
{\displaystyle \,\aleph _{\lambda }\,}
將是繼任紅衣主教，因此並非難以接近。如果
λ
{\displaystyle \,\lambda \,}
是一個極限序數小於
κ
,
{\displaystyle \,\kappa ~,}
那麼它的共定性（因此它的共定性
ℵ
λ
{\displaystyle \aleph _{\lambda }}
) 將小於
κ
{\displaystyle \,\kappa \,}
所以
κ
{\displaystyle \,\kappa \,}
不會是規則的，因此不是弱不可訪問的。因此
λ
≥
κ
{\displaystyle \,\lambda \geq \kappa \,}
因此
λ
=
κ
{\displaystyle \,\lambda =\kappa \,}
這使它成為一個固定點。
任何無限序數的基數都是阿列夫數。每個 aleph 是某個序數的基數。其中最少的是它的初始序數。任何基數為 aleph 的集合與序數是等數的，因此是良序的。
每個有限集都是可良序的，但沒有 aleph 作為其基數。
每個無限集的基數是阿列夫數的假設在 ZF 上等價於每個集合的良序的存在，這反過來又等價於選擇公理。包含選擇公理的 ZFC 集合論意味著每個無限集合都有一個 aleph 數作為其基數（即與其初始序數相等），因此 aleph 數的初始序數作為所有集合的代表可能的無限基數。
當在沒有選擇公理的情況下在 ZF 中研究基數時，不再可能證明每個無限集都有某個 aleph 數作為其基數；基數為 aleph 數的集合正是可以良序的無限集合。Scott 技巧的方法有時被用作在 ZF 的設置中構造基數代表的替代方法。例如，可以將card( S )定義為具有與S相同基數的最小可能秩的集合。這具有card( S ) = card( T )當且僅當S和T具有相同的基數。（集合card( S )通常與S的基數不同，但它的所有元素都有。）
