Worldly cardinal
在數學集合論中，wordly cardinal是基數κ ，因此秩 V κ是Zermelo-Fraenkel 集合論的模型。[1]
根據Zermelo關於不可接近紅衣主教的定理，每個不可接近紅衣主教都是世俗的。根據 Shepherdson 定理，不可訪問性等同於更強的陳述，即 ( V κ , V κ+1 ) 是二階 Zermelo-Fraenkel 集合論的模型。[2]世俗與不可接近不是等價的；事實上，最小的世俗紅衣主教具有可數共尾性，因此是單數紅衣主教。[3]
難以接近的紅衣主教在集合論中，一個不可數的 基數如果不能通過基數算術的通常運算從較小的基數中得到，則它是不可訪問的。更準確地說，如果基數κ是不可數的，則它是強不可訪問的，它不是小於κ的基數小於κ的和，並且
α
<
κ
{\displaystyle \alpha <\kappa }
暗示
2
α
<
κ
{\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }
.
“不可接近的紅衣主教”一詞是模棱兩可的。直到大約 1950 年，它的意思是“弱不可接近的紅衣主教”，但從那時起，它通常意味著“強烈不可接近的紅衣主教”。如果一個不可數的基數是一個常規的弱極限基數，那麼它就是弱不可訪問的。如果它是一個常規的強極限基數，它是強不可訪問的，或者只是不可訪問的（這相當於上面給出的定義）。一些作者不要求弱和強不可訪問的基數是不可數的（在這種情況下
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
是強烈不可訪問的）。Hausdorff (1908)引入了弱不可訪問的紅衣主教， Sierpiński & Tarski (1930)和Zermelo (1930)引入了強不可訪問的紅衣主教。
每個強不可訪問的基數也是弱不可訪問的，因為每個強極限基數也是一個弱極限基數。如果廣義連續統假設成立，則當且僅當基數是弱不可訪問時，它是強不可訪問的。
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
( aleph-null ) 是一個常規的強極限基數。假設選擇公理，每隔一個無限基數是規則的或（弱）限制。然而，只有一個相當大的基數可以兩者兼而有之，因此弱不可訪問。
一個序數是一個弱不可訪問的基數當且僅當它是一個正則序數並且它是正則序數的一個極限。（零、一和ω是正則序數，但不是正則序數的極限。）弱不可訪問的基數和強極限基數是強不可訪問的。
存在一個強烈不可接近的基數的假設有時以假設一個人可以在格洛騰迪克宇宙中工作的形式應用，這兩個想法密切相關。
Zermelo-Fraenkel 集合論與選擇 (ZFC) 意味著當κ非常不可訪問時， V κ是 ZFC 的模型。並且 ZF 意味著當κ弱不可訪問時，哥德爾宇宙L κ是 ZFC 的模型。因此，ZF 與“存在一個弱不可訪問的基數”一起意味著 ZFC 是一致的。因此，無法訪問的基數是大基數的一種。
如果V是 ZFC 的標準模型並且κ在V中是不可訪問的，則：V κ是Zermelo-Fraenkel 集合論的預期模型之一；Def( V κ )是 Mendelson 版本的Von Neumann-Bernays-Gödel 集合論的預期模型之一，該模型排除了全局選擇，用替換和普通選擇代替了大小限制；V κ +1是Morse-Kelley 集合理論的預期模型之一。這裡 Def ( X ) 是X的 Δ 0可定義子集（參見可構造宇宙）。然而，為了使V κ成為 ZF 的標準模型， κ不需要是不可訪問的，甚至是基數（見下文）。
假設V是 ZFC 的模型。要么 V 不包含強不可訪問，要么以κ為V中最小的強不可訪問，V κ是不包含強不可訪問的 ZFC 的標準模型。因此，ZFC的一致性意味著ZFC+“沒有強不可訪問”的一致性。類似地，要么V不包含弱不可訪問，要么將κ設為相對於V的任何標準子模型弱不可訪問的最小序數，則L κ是 ZFC 的標準模型，其中不包含弱不可訪問項。所以ZFC的一致性意味著ZFC+“沒有弱不可訪問”的一致性。這說明 ZFC 不能證明不可訪問基數的存在，所以 ZFC 與任何不可訪問基數不存在是一致的。
ZFC 是否與不可接近的基數的存在一致的問題更加微妙。上一段所勾勒的證明，即 ZFC 的一致性意味著 ZFC 的一致性+“沒有不可訪問的基數”可以在 ZFC 中形式化。但是，假設 ZFC 是一致的，沒有證據證明 ZFC 的一致性意味著 ZFC 的一致性+“有一個不可訪問的基數”可以在 ZFC 中形式化。這遵循哥德爾的第二不完備定理，這說明如果ZFC+“有一個不可訪問的基數”是一致的，那麼它就不能證明自己的一致性。因為 ZFC +“有一個不可訪問的基數”確實證明了 ZFC 的一致性，如果 ZFC 證明了它自己的一致性暗示了 ZFC +“有一個不可訪問的基數”的一致性，那麼後一種理論將能夠證明它自己的一致性，如果它是一致的，這是不可能的。
存在無法在 ZFC 中形式化的無法訪問的基數的論點。Hrbáček & Jech (1999 , p. 279)提出的一個這樣的論點是，如果有一個更大的集合論模型擴展M和保留M元素的冪集。
集合論中有許多重要的公理斷言存在滿足興趣謂詞的適當基數類。在不可訪問的情況下，相應的公理是斷言對於每個基數μ，都有一個嚴格大於的不可訪問基數κ，μ < κ。因此，這個公理保證了無限的不可訪問基數塔的存在（有時可能被稱為不可訪問基數公理）。與任何不可訪問的基數存在的情況一樣，不可訪問的基數公理無法從 ZFC 的公理中證明。假設 ZFC，不可訪問的基數公理等價於Grothendieck and Verdier：每個集合都包含在一個Grothendieck 宇宙中。ZFC 的公理與全域公理（或等效的不可訪問的基數公理）一起表示為 ZFCU（不要與帶有ureelements的 ZFC 混淆）。這個公理系統對於證明例如每個類別都有適當的米田嵌入很有用。
這是一個相對較弱的大基數公理，因為它相當於在下一節的語言中說 ∞ 是 1-不可訪問的，其中 ∞ 表示不在 V 中的最小序數，即模型中所有序數的類。
術語“ α-不可接近的基數”是模棱兩可的，不同的作者使用不等價的定義。一個定義是基數κ被稱為α -不可訪問，對於α任何序數，如果κ不可訪問並且對於每個序數β < α，小於κ的β -不可訪問集合在κ中是無界的（因此基數κ，因為κ是規則的）。在這種情況下，0 不可訪問的基數與強不可訪問的基數相同。另一個可能的定義是基數κ被稱為如果κ是規則的並且對於每個序數β < α ， α -弱不可訪問，小於κ的β -弱不可訪問的集合在中是無界的。在這種情況下，0-弱不可訪問的基數是常規基數，1-弱不可訪問的基數是弱不可訪問的基數。
α-不可訪問基數也可以描述為計算較低不可訪問數的函數的不動點。例如，用ψ 0 ( λ ) 表示第λ個不可接近的基數，則ψ 0的不動點就是1-不可接近的基數。然後令ψ β ( λ ) 為λ th β -不可接近的基數，ψ β的不動點是 ( β +1) -不可接近的基數（值ψ β +1 ( λ )）。如果α是一個極限序數，一個α -inaccessible 是每個ψ β的一個不動點，因為β < α（值ψ α ( λ ) 是第λ個這樣的基數）。在大基數的研究中經常遇到這種取函數的不動點產生連續更大的基數的過程。
術語超不可訪問是模棱兩可的，並且至少具有三個不相容的含義。許多作者用它來表示強烈不可訪問的基數的常規限制（1-不可訪問）。其他作者用它來表示κ是κ不可訪問的。（它永遠不可能是κ +1 -inaccessible。）它偶爾用來表示Mahlo cardinal。
術語α -hyper-inaccessible也是模棱兩可的。一些作者用它來表示α -inaccessible。其他作者使用以下定義：對於任何序數α，基數κ是α -超不可訪問當且僅當κ是超不可訪問且對於每個序數β < α，小於κ的β -超不可訪問集是無界的在κ中。
可以用類似的方式定義超超難以接近的紅衣主教等，並且像往常一樣，這個術語是模棱兩可的。
使用“weakly inaccessible”而不是“inaccessible”，可以對“ weakly α -inaccessible”、“weakly hyper-inaccessible”和“ weakly α -hyper-inaccessible”做出類似的定義。
Mahlo 紅衣主教是不可訪問的、超不可訪問的、超超不可訪問的……等等。
首先，當且僅當κ具有以下反射屬性時，基數κ是不可訪問的：對於所有子集U ⊂ V κ，存在α < κ使得
(
五
α
,
∈
,
ü
∩
五
α
)
{\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}
是一個基本的子結構
(
五
κ
,
∈
,
ü
)
{\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}
. （事實上，這種α的集合在κ中是無界封閉的。）等價的，κ是
Π
n
0
{\displaystyle \Pi _{n}^{0}}
-對於所有n ≥ 0 ，無法描述。
在 ZF 中可以證明 ∞ 滿足稍弱的反射特性，其中子結構( V α , ∈, U ∩ V α )只需要相對於有限的公式集是“基本的”。歸根結底，這種弱化的原因是，雖然模型理論的滿足關係⊧可以定義，但語義真實本身（即
⊨
五
{\displaystyle \vDash _{V}}
) 不能，由於塔斯基定理。
其次，在 ZFC 下，可以證明κ是不可訪問的當且僅當( V κ , ∈)是二階ZFC 的模型。
在這種情況下，根據上面的反射性質，存在α < κ使得( V α , ε)是 (一階) ZFC 的標準模型。因此，與 ZFC 標準模型的存在相比，存在不可接近的基數是一個更強的假設。
