達到了最大的大數Rayo數後，蕾樂斯和「惡魔」開始準備進入無限的領域。
首先要從數的概念說起。
比如說我有兩塊錢，你有三塊錢。
你比我有錢，有了數才有了比較。
假如有兩個人在玩一個遊戲。
看誰想出的數比較大誰就贏。
雖然這個遊戲挺無聊的，但是真的很難分出勝負。
因為衹要你想出了一個大數。我就在它上面加一就夠了，就比它大了。
然後你還可以加一，然後你又贏了，這樣就沒完沒了了。
換一句話說，如果從一往後數，能數到多大？
顯然是無窮无盡，說的是無窮大。
無窮大是什麼呢？
嚴格的說無窮大不是一個數。
它代表了無界極限，就是想像不到它有多大。如果能想到那就是有界。
比如說一些著名的大數葛立恒數和TREE（3）。
這些大數都是具有意義的大數。
就是它們都代表某些含義。
並且能夠知道的是，衹要時間足夠長，就能夠數盡它們。
祇不過它們確實大的離譜。
因此說這些大數都是具有意義的。
可是無窮大的意義是什麼？
比如說所有自然數的個數有多少？無窮大。
一根線段上有多少個點？無窮大。
這些就沒有意義。
這類似於認知的極限。
在遠古時期，很多部落當中都不存在比三大的數字。
這裡指的是沒有比三大的數的概念。
比如說一個原始人打獵回到部落之中，其他同班問他今天獲得多少隻獵物。衹要這個數超過三的就是很多很多。
所以要是原始人玩數數的遊戲，肯定就是誰先數到三誰就贏。
自古以來其實很多人都不喜歡無窮大。無窮大就代表著未知。
就和古希臘時期由根號2所引發的慘案一樣。
這就是人們對未知的恐懼。
但仍然有很多人嘗試征服無窮大。
今天看起來最成功的人就是現代集合論的創立者的康托爾。
康托爾思考的問題是雖然無窮大也不知道具體是多少。但是它們能不能比較大小？
比如說我想知道自然數的個數和一條線段上的點的個數哪個多。
該如何比較？
先看一下是如何比較二和三的大小的。
用最原始的辦法。
假設遠古部落中有兩個人打獵回來。一個人抓了三隻羊，一個人抓了兩隻羊。酋長說誰打獵物最多就獎勵誰。
於是兩個遠古人用這樣的方式來比較數量大小。
首先你拿一隻羊，我拿一隻羊。
然後你再拿出一隻羊，我再拿出一隻羊。
最後直到其中一人手裡沒有羊了。另外一個人手裡還有羊。那另外一個人就贏了。
康托爾的辦法就和這個類似。
比如說奇數的個數和偶數的個數哪個多？
雖然明明知道奇數的個數是無窮的。偶數的個數也是無窮的。
但是一旦想要比較二者的大小。
你就會發現有趣的事情。
回歸之前原始人的辦法。
把第一個奇數和第一個偶數拿出來。
1和2放在第一排，然後3和4也拿出來放在第二排，以此類推。
直到其中一方拿不出來數，另一方就贏了。
但是之後你會發現拿出數的這個動作要重複無窮多次。
然後就是康托爾的定義了。
康托說，如果這樣就表示奇數集合和偶數集合存在無窮對一一映射。
這就說明這兩個集合當中數的個數是相等的。
這就是所謂的無窮大算數。
假如現在想知道所有偶數的個數和所有自然數的個數哪個多？
按照正常想法，所有自然數是有奇數和偶數組成。
歐幾里德告訴我們整體大於部分。
按照這樣肯定是自然數的個數多。
但是以之前的一一對應關係來看。
第一個自然數1和第一個偶數二2拿出來放在第一排。然後2和4，3和6……
然後會發現這種對應關係仍然是無窮多對。
按照之前的理論，衹能說自然數的個數和偶數的個數是相等的。
在無窮大的世界裡，部分是可能等於整體的。
希爾伯特在自己的二十三個數學問題當中。第一個問題就是康托爾的理論相關的內容。
據說希爾伯特還寫了一個故事，就是為了解釋康托爾的無窮大算術。
就是著名的希爾伯特旅館。
有這麼一個旅店。如果旅店的房間是有限的，就是通常理解的可數的。
然後旅店滿房，這時來了一個人說要住店。
服務員說不好意思滿房了，人走了，故事結束了。
換一種情況。
如果這個旅店的房間數是無限的。
同樣滿房了，來了一個人說要住店。於是服務員把第一間房的客人移到第二間。第二間房的客人移到第三間。以此類推。
由于房間的數量是無限的。
按照剛才的結論，也就是從1開始的自然數們個數和從2開始的自然數個數，哪個比較大？
一樣大。
所以第一間房就空出來。新來的客人就有房間住。
這個時候又來了無窮多個人說要住店。
於是服務員把第一間房的客人移到第二間房，第二間房的客人移到第四間房，第三間房的客人移到第六間房，以此類推。
這樣所有奇數房號的房就全部空下來了。
又因為所有奇數的個數等於所有自然數的個數。所以這些人還是能夠住下。
那是否所有無窮大都是相等的？
感覺都能找到一一對應的映射。
再看一個問題。
自然數的個數和一條線段上的點的個數哪個多？
把線段中的一個點作為原點。
每一個點到原點的長度就表示這個點的序號。
然後再來找一一對應關係。
線段的0點對應著自然數1。然而無法得知線段上的第二個點是多少。
0.00001也不是第二個點。因為還有比它小的點。
這兩個無窮大做比較就找不到一一對應關係。
實際上線段上的點要比自然數的個數多。
這兩個無窮大就不是一樣大了。
在公理集合論當中，如果兩個無窮大相等。就像是偶數個數和奇數個數，這叫做等式。
或者說它們具有相同的基數。
基數簡單理解就是無窮集合的元素的個數。
勢就表示了無限集合當中元素的多少。
什麼叫做可數？
任何勢小於自然數集的集合稱作無限集合，比如說1-100。
任何勢和自然數集一樣的集合，稱作可數無限集合。
比如說偶數集，奇數集。
雖然是無限的但是是可數的，這叫做可數無限集合。
任何勢大於自然數集的集合稱作不可數集合。
也就是一般說的不可數，比如說線段上的點。
有一個有趣的事，無論這個線段的長度是多少。它上面的點的個數都是一樣多的。
比如說有一個比較長的線段和一個比較短的線段。
你可以把它們的其中一端相連。然後構造一個三角形。
衹要和底邊平行的線就可以在這兩個線段上截出兩個點。
這兩個點就是一一對應關係。
所以所有線段上的點的個數都是相等的。
那一個二維平面上的點和一根線段上的點誰比較多。
直覺感覺是平面上的點比較多。
但是答案還是一樣的。
可以這樣找映射。
假設有一條長度為1的線段和邊長為1的正方形。平面上的任意一點都有相應的座標。比如說（0.58,0.34）。
那要怎麼做才能把這個點表示在線段上呢？
同樣還是上面取一個數，下面取一個數就行。
所以座標（0.58,0.34）就可以表示線段上的點0.5834。
無論你的點有多複雜，數有多長。衹要照著錯位寫下來就可以了。
同理還可以知道一個立方體中的點的個數和一條線段上的點的個數依舊是相等的。
這樣就已經至少知道兩種無窮大了。
接下來說曲線。
曲線的各種奇奇怪怪的樣式就是第三級無窮大。
在數學上很容易定義一個第四級，第五級無窮大。但是目前為止能理解的就是能具體到生活中的只到了第三級。
這就和以前的原始部落一樣，無法超過三。
之前說的第幾級無限康托爾用了一個專用符號來表示。是一個希伯來字母ℵ讀作阿列夫。
阿列夫零乘表示可數集像自然數集。
阿列夫一就是線段上的點。
阿列夫二就是曲線的樣式，
以此類推。
現在回到希爾伯特的第一個問題，連續統假設。
連續統就是可以連續變動的意思。一般表示實數集。
連續統假設說的是不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合。
基數就是無窮集合的元素個數。
可數無限集就是阿列夫零。
這個假設認為實數集的基數就是阿列夫一。
二者中間不存在其他的阿列夫數了。
這就是連續統假設。
最終的證明就是在ZFC（函選擇公理的策梅洛.弗蘭克爾集合論）框架下。
連續統假設既不能證明也不能證偽。
就像哥德爾不完備定理一樣。
所以衹能把其當做一個公理。
不能證明或者證偽在某種角度看來就是意味著是對的。
