無限嚴格意義上來說是一類數。你需要用無限的數去談論和比較那些無穷盡的總數。
不過某些無窮的總數，某些無限真的就比另一些無限更大。
首先，如果一個數指的是東西有多少。那它就叫做基數。
例如四支鉛筆。十二張卡片。二十個圓點。
二十就是這一組圓點的基數。
兩個集合具有相同的基數，就是指兩者包含的東西一樣多。要展示這一性質，衹要把一個集合的每個元素跟另一個集合的每個元素一對一的配成對。
基數相同。
用自然數也就是0,1,2,3,4,5等等作為基數。衹要談論的東西有多少個就用它們。
可是自然數有多少個呢？
不可能是自然數之中的某個數。
因為總還有一加上那個數在它之後。
這個總數專門有個名字。
阿列夫零。
阿列夫零是第一個，也是最小的一個無限。
ℵ0（aleph-nought，也 aleph-zero 或 aleph-null）是所有自然數集合的基數，並且是無限基數。所有有限序數的集合，稱為ω或者ω0，具有基數ℵ0。集合有基數ℵ0當且僅當它是可數無限的，即它與自然數之間存在雙射（一一對應）。這種集合的例子是
所有整數的集合，
整數的任何無限子集，例如所有平方數的集合或所有素數的集合，
所有有理數的集合，
所有可構造數的集合（在幾何意義上），
所有代數數的集合，
所有可計算數的集合，
所有有限長度二進製字符串的集合，以及
任何給定的可數無限集的所有有限子集的集合。
這些無限序數：ω，ω+1，ω×2，ω^2，ω^ω和ε0屬於可數無限集。例如，所有正奇數後跟所有正偶數的序列（序數為 ω×2）
{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...}
是集合的一個排序（具有基數ℵ0) 的正整數。
如果可數選擇公理（選擇公理的弱版本）成立，那麼ℵ0小於任何其他無限基數。
重點是阿列夫零比任何有限的總數都要大。
葛立恒數乘以無限？TREE（3）乘以無限？
阿列夫零也比這些大。
可是我們能數到它之後。
畫一堆線段，每一條的長度都是前一條的幾分之幾。而且離前一條的距離也是幾分之幾。那樣就能把無窮多條線段塞進有限的空間。這些線段的條數等於全部自然數的個數。
兩者能夠一一對應。
總會有下一個自然數，但也總會有下一條線段。
這兩個集合的基數都是阿列夫零。
可是如果這麼做會怎麼樣？
在這堆線段之外額外畫一條線。
這樣一來線段有多少條？
阿列夫零加上一？
不，無窮盡的總數不同於有限的總數。這還是祇有阿列夫零條線。因為仍然可以跟自然數一一對應。
衹要先把自然數中的零和額外畫的那一條線配對。然後再把一配對給那堆線段中的第一條線。線段總數顯然沒變。
甚至可以添加兩條，三條，四條線。結果總數還是祇有阿列夫零個東西。
甚至可以再加阿列夫零條線。但是數量仍然不變。
偶數跟原來的那堆線段配對，奇數跟另一堆線段配對。仍然是每個自然數配一條線。
還有一個好辦法可以看出這些線並不增加總數。
辦法是證明完全不必畫新的線也能造出同樣的序列。
衹要每隔一條線取出一條一起放到末尾就行了。
完全一樣。
奇數線段和偶數線段包含的數量個數一樣多。而這兩者包含的數量個數也和自然數一樣多。
可是雙方顯然有某種區別。
如果區別不在於多少，那區別是什麼？
回到阿列夫零那麼多條線後面祇有一條線的情況。
假如我們不衹是一對一配對自然數。還要求必須按照線段被畫出的順序挨個去數會怎麼樣？
那樣我們衹能先從額外畫出來的那條線開始數。
那樣就多數了一個。
在無限王國中，按順序給東西標號跟清點總數區別很大。
額外畫出來的那條線對總數沒有貢獻。但是為了按照出現的順序給它標號。我們就需要一套延伸到自然數之後的數字標籤。
我們需要的是序數。
第一個超限序數是ω。它就只是下一個必要的標籤。計數用的無限多個數全部用掉之後就得用它。
如果你再跑得了第ω名。那意思就是有無限多個人跑完之後你才跑完。
ω之後是ω+1。看著不像一個數。但他真的是數，跟2或12或900一樣。
接著是ω+2,ω+3……
序數按順序給東西標號。序數講的不是東西有多少。而是告訴我們這些東西如何排列。即它們的序型。
一個集合的序型就是給其中所有東西一是標號時，不需要用到的頭一個序數。所以對於有限的數，基數與序型是相同的。
全體自然數的序型是ω。而在全體自然數序列之後的序型第一個是ω+1。然後就是ω+2,ω+3……
不管排列的多長，衹要是良序的。也就是每個部分都包含一個起始元素。那麼這整個東西就描述了一個新的序數。
但是如果是在玩一個遊戲，叫做「誰能說出最大的數字」。
要是你想說ω+1。那就要小心一點了。你的對手可能會要求你說的數必須是基數。
必須指的是總數。
而這些數指的是同樣多的東西，祇不過排列不同。
ω+1並不比ω更大。它衹是排在ω之後而已。
不過阿列夫零也不是終點。
因為可以證明還有比阿列夫零更大的無限。確確實實包含了更多的東西。
其中一種最好的證明方式是康托爾的對角線論證。
阿列夫零的幂集。
一個集合的幂集就是能夠由它取出所有不同子集的集合。
比如由｛1,2｝這個集合。
可以取出空集，或｛1｝，或｛2｝，或｛1,2｝。
可以看到幂集包含了比原集合多得多的元素。
全體自然數的幂集是什麼？
第一排黑色筆列出了所有的自然數。
第二排是全體偶數構成的子集。綠色筆的Y代表是，紅色筆的N代表不是。
第三排是全體奇數構成的子集。
第四排是只包含3,7和12的子集。
第五排是除5以外所有數。
第六排是只有5沒有別的數。
而顯然子集的列表也會是無限的。
但是設想把它們全部一一對應到自然數。如果在這之後仍然有辦法繼續產生新的子集。產生顯然沒有列在這裡面任何一處的子集。那麼我們就知道我們造出了一個集合。它的元素個數比自然數還多。
一個比阿列夫零還大的無限。
辦法是這樣，從左上角第一個子集開始。看見什麼就反過來。
0是這個集合的元素，所以新的集合就不要包含0。
下一步沿對角線走到第二個子集，看1是不是它的元素。
1是它的元素，所以新子集就不要有1。
以此類推。
可以看到，這刻畫了這樣一個子集。根據定義，它跟這個長度為阿列夫零的列表中，每一個子集至少有一處不同。即使把這個新子集放進去，還是可以再做對角線構造。
自然數的幂集總是會拒絕，然後跟自然數一一對應。它是比阿列夫零更大的一個無限。無限運用幂集，會產生出無法與前一個集合形成一一對應的集合。這是一個好辦法可以快速製造越來越大的無限。
重點是，阿列夫零之後還有更多的基數。
來試試怎麼達到它們。
在ω之後序數跟基數分開了。這些數不再是基數了。
它們並不表示比我們之前達到的基數更大的總數。但也許它們能帶我們去到更大的基數。
但有一個問題。
如果這一路往下，總是可以再加一，一直下去。把這個无盡的過程當成一個整體，後面再跟著某個東西？
答案是：可以。
因為這是數學，不是自然科學。在數學中設定為真的東西叫做公理。數學家們提出的公理並不是因為它更好的解釋或預言了觀察結果而更有可能為真。它之所以為真衹是因為我們説它為真。它的推論變成了我們觀察到的東西。我們並不是在拿理論去符合某個物理宇宙。
它的運行以及背後的定律無論我們在與不在都一樣。我們是在自行創造這個宇宙。
要是斷言為真的那些公理引起了矛盾或悖論。可以回頭調整一下，或者乾脆拋棄它們。或者衹要禁止我們去做那些導致悖論的事情。
而最奇妙的是。在確保我們接受的公理不出問題的過程中，我們把數學變成了這樣一種東西。就像那句話說的一樣。
數學在自然科學中不可思議的有效。
究竟是如何發明了這一切，又或是發現。
無法得到確切答案。
要得到ω，我們要做的衹是說出「要有ω」。
這正是1908年恩斯特.策梅洛做的事。
他把無限公理加進了規定數學中可以做什麼的公理清單中。無限公理祇不過聲明了一件事，存在一個無限集合，即全體自然數的集合。
可以利用這個走得很遠很遠。
超出自然數和序數，最後抵達ω+ω。不過這就碰到新的極限了。一路走到ω+ω就創造了另一個無限集合。
而無限公理只保證了前面這個自然數集合存在。是不是每次描述了阿列夫零那麼多的數。就要添加一條新的公理呢？
不需要，替代公理可以幫助我們。
這條設定說的是取一個集合，比如全體自然數的集合。把其中每個元素替換成別的東西，比如蘋果。得到的門仍然是一個集合。聽起來簡單，可是非常有用。
試一下，拿出直到ω的所有序數。然後不要換成蘋果，而是在每個序數前添上ω+。這就達到了ω+ω，即ω乘以2。利用替換我們可以做任意跨度的跳躍。
衹要我們用的數都是已經達到了的。
我們可以把直到ω的每一個序數替換成ω乘以它。就達到了ω乘以ω，即ω平方。
替代公理使我們能夠永無止境的構造出新的序數。最後達到ω的ω的ω的ω的ω……幂次幂次幂次。標準的數學表示法不夠用。但是沒有問題，就把它叫做ε0。
然後又可以繼續下去。
不過先考慮一下所有這些序數。所有這些排列阿列夫零個東西的不同方式。它們也形成了良性排列，所以也有一個序型。即某個排在它們全部之後的序數。
在這裡，那個序數叫做ω1。
那麼根據定義，ω1排在阿列夫零個東西的所有序型之後。所以它描述的那個排列必定比前一個阿列夫包含了更多東西。不然的話，它就該排在這裡面的某個地方了。但是它並不在那裡面。
具有序型ω1的排列所要用到的東西總數也要用一個基數來描述，這就是阿列夫一。自然數的幂集究竟落在這條軸上什麼地方無法得知。它不可能在這阿列夫一，阿列夫零，這兩個數之間。
因為這兩者之間沒有基數。它有可能等於阿列夫一。這種看法叫做連續統假設。但它也可能比阿列夫一更大。
無從得知。
就從這裡開始更上一層樓，達到越來越大的無限。
運用替代公理，我們可以用任何一個已經達到的序數比如ω。從一個阿列夫數跳到下一個阿列夫數直到阿列夫ω。又或者乾脆用更大的序數，比如ω平方。構造阿列夫ω平方。阿列夫ωωωωωω……
這個表示法只允許往下寫阿列夫零個ω。
但替換法可不在乎有沒有辦法寫出所達到的數。無論落在哪裡都放著更大的數。從而能做出比之前更大更多的跳躍。這一切構成了一個瘋狂加速的反饋回路，不斷放大。可以這樣一直繼續下去。由下往上達到越來越大的無限。
運用替換以及反復構造幂集。幂集可能跟各個阿列夫對齊，也可能不對齊。能讓我們永無止境的攀登。
之前說過的是超過有限而達到ω。為什麼不再接受一條公理，承認還存在下一個什麼數。太大了，無論對比它小的東西做多少次替換或幂集，都無法達到它。
這樣的數叫做不可達基數。
因為無法由下往上達到它。有趣的是，在已經達到的數當中，也能發現這種數的影子。
它就是阿列夫零。
這個數也是無法自下往上達到的。所有比它小的數都是有限的。有限多個有限數，透過加法，乘法，乘方……
或者有限跨度的有限次替換。甚至做有限次幂集。都不可能得出有限總數之外的東西。
永遠無法達到阿列夫零。
因此阿列夫零往往被當成一個不可達數。
得到阿列夫零唯一的辦法是透過公理直接宣告它的存在。對於不可達基數也衹能這麼做。
很難講清楚不可達基數究竟大到了多麼超乎理解的程度。
這麼說吧。從無到第一個無限，其概念上的跨度跟第一個無限到不可達基數的跨度是一樣的。
而集合論者也已經刻畫了比不可達基數還要大的基數。每一個都需要一條新的大基數公理來斷言其存在，不斷擴展數學宇宙的高度。
