超限數
超限數是“無限”的數字，因為它們比所有有限數都大，但不一定是絕對無限的。其中包括超限基數（用於量化無限集大小的基數）和超限序數（用於提供無限集排序的序數）。超限一詞是康托爾在 1895 年創造的，希望避免與這些數的概念和「無限」一詞混淆，儘管如此，這些數的概念不是有限的。現在數學家們可以接受將超限基數和序數稱為無限數的用法。儘管如此，“超限”一詞也仍在使用中。
定義
任何有限自然數都可以至少以兩種方式表達：作為序數和作為基數。基數指某個集合的大小（例如，一袋五個彈珠），而序數指所有元素在有序集合中的順序例如，“左起第三個人”或“第二十七個人”一月的第一天”）。當擴展到超限數時，這兩個概念變得截然不同。超限基數用於描述無限大集合的大小，而超限序數用於描述無限大有序集合中的位置。最值得注意的序數和基數分別是：
ω（歐米茄）：最小的超限序數。它也是自然數在線性排序下的最後一位。
ℵ0( 阿列夫數 )：第一個超限基數。它也是自然數的基數。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是ℵ1，如果不是，可能還有大基數能與ℵ1比擬，並且比阿列夫數更大。無論哪種方式，在 阿列夫數 和 ℵ1 之間都沒有基數。
連續統假設是指之間沒有中間基數的命題ℵ0和連續統的基數（實數集的基數）：或等效地 ℵ1 是實數集的基數。在策梅洛.弗蘭克爾集合論中，無論是連續統假設還是它的否定都不能被證明。
一些作者，包括 P. Suppes 和 J. Rubin，使用術語超限基數來指代Dedekind-infinite 集的基數，在這種情況下這可能不等同於“無限基數”；也就是說，在可數選擇公理未被假設或不知道是否成立的情況下。給定這個定義，以下都是等價的：
ｍ是一個超限基數。即有一個 Dedekind 無限集Ａ這樣的基數。Ａ是ｍ。
ｍ+1=ｍ
ℵ0≤ｍ
有一位基數ｎ，所以ℵ0+ｎ=ｍ。
雖然超限序數和基數都只泛化自然數，但其他數字系統，包括超實數和超限實數，提供實數的泛化。
例子
在康托爾的序數理論中，每個整數都必須有一個後繼。在所有常規整數之後的下一個整數，即第一個無限整數，被命名為ω。在這種情況下，ω+1大於ω，而ω×2，ω²和ω^ω仍然更大。算術表達式包含ω指定一個序數，並且可以被認為是直到該數字的所有整數的集合。一個給定的數字通常有多個表示它的表達式，但是，有一個唯一的序數算術來表示它，本質上是一個有限的數字序列，它給出了的降冪係數ω。
然而，並非所有無限整數都可以用序數算術表示，序數算術第一個能極限表示的是：ω次方的ω次方的ω次方……的ω次方（一直無限循環，即無限的ω的ω次方。直到不動點為止。）被稱為ε0 。ε0 是第一個不動點，ω^ε=ε，然後可以繼續進行序數算術，ε1，……，εω，……，εε0，……一直給出更大的序數，並且可以一直循環直到達到極限εεεε……（無限循環，即無限個ε。），然後又到達第二個不動點，εα=α。這意味著，為了能夠指定所有超限整數，必須想出一個無限的名稱序列：因為如果要指定一個最大的整數，那麼總是能夠提及其更大的後繼。但正如康托爾所指出的，即使這樣也只能讓一個人達到最低級別的超限數：那些集合的大小對應於基數的那些ℵ0。
