有限的领域到这裡就完结了，接下来就是无穷的领域了。
想要理解无穷大，首先要从数的概念说起。
比如说我有两块钱，你有三块钱。
你比我有钱，有了数才有了比较。
假如有两个人在玩一个游戏。
看谁想出的数比较大谁就赢。
虽然这个游戏挺无聊的，但是真的很难分出胜负。
因为衹要你想出了一个大数。我就在它上面加一就够了，就比它大了。
然后你还可以加一，然后你又赢了，这样就没完没了了。
换一句话说，如果从一往后数，能数到多大？
显然是无穷无尽，说的是无穷大。
无穷大是什麽呢？
严格的说无穷大不是一个数。
它代表了无界极限，就是想像不到它有多大。如果能想到那就是有界。
比如说一些着名的大数葛立恒数和TREE（3）。
这些大数都是具有意义的大数。
就是它们都代表某些含义。
并且能够知道的是，衹要时间足够长，就能够数尽它们。
祇不过它们确实大的离谱。
因此说这些大数都是具有意义的。
可是无穷大的意义是什麽？
比如说所有自然数的个数有多少？无穷大。
一根线段上有多少个点？无穷大。
这些就没有意义。
这类似于认知的极限。
在远古时期，很多部落当中都不存在比三大的数字。
这裡指的是没有比三大的数的概念。
比如说一个原始人打猎回到部落之中，其他同班问他今天获得多少隻猎物。衹要这个数超过三的就是很多很多。
所以要是原始人玩数数的游戏，肯定就是谁先数到三谁就赢。
自古以来其实很多人都不喜欢无穷大。无穷大就代表着未知。
就和古希腊时期由根号2所引发的惨案一样。
这就是人们对未知的恐惧。
但仍然有很多人尝试征服无穷大。
今天看起来最成功的人就是现代集合论的创立者的康托尔。
康托尔思考的问题是虽然无穷大也不知道具体是多少。但是它们能不能比较大小？
比如说我想知道自然数的个数和一条线段上的点的个数哪个多。
该如何比较？
先看一下是如何比较二和三的大小的。
用最原始的办法。
假设远古部落中有两个人打猎回来。一个人抓了三隻羊，一个人抓了两隻羊。酋长说谁打猎物最多就奖励谁。
于是两个远古人用这样的方式来比较数量大小。
首先你拿一隻羊，我拿一隻羊。
然后你再拿出一隻羊，我再拿出一隻羊。
最后直到其中一人手裡没有羊了。另外一个人手裡还有羊。那另外一个人就赢了。
康托尔的办法就和这个类似。
比如说奇数的个数和偶数的个数哪个多？
虽然明明知道奇数的个数是无穷的。偶数的个数也是无穷的。
但是一旦想要比较二者的大小。
你就会发现有趣的事情。
回归之前原始人的办法。
把第一个奇数和第一个偶数拿出来。
1和2放在第一排，然后3和4也拿出来放在第二排，以此类推。
直到其中一方拿不出来数，另一方就赢了。
但是之后你会发现拿出数的这个动作要重複无穷多次。
然后就是康托尔的定义了。
康托说，如果这样就表示奇数集合和偶数集合存在无穷对一一映射。
这就说明这两个集合当中数的个数是相等的。
这就是所谓的无穷大算数。
假如现在想知道所有偶数的个数和所有自然数的个数哪个多？
按照正常想法，所有自然数是有奇数和偶数组成。
欧几里德告诉我们整体大于部分。
按照这样肯定是自然数的个数多。
但是以之前的一一对应关係来看。
第一个自然数1和第一个偶数二2拿出来放在第一排。然后2和4，3和6……
然后会发现这种对应关係仍然是无穷多对。
按照之前的理论，衹能说自然数的个数和偶数的个数是相等的。
在无穷大的世界裡，部分是可能等于整体的。
希尔伯特在自己的二十三个数学问题当中。第一个问题就是康托尔的理论相关的内容。
据说希尔伯特还写了一个故事，就是为了解释康托尔的无穷大算术。
就是着名的希尔伯特旅馆。
有这麽一个旅店。如果旅店的房间是有限的，就是通常理解的可数的。
然后旅店满房，这时来了一个人说要住店。
服务员说不好意思满房了，人走了，故事结束了。
换一种情况。
如果这个旅店的房间数是无限的。
同样满房了，来了一个人说要住店。于是服务员把第一间房的客人移到第二间。第二间房的客人移到第三间。以此类推。
由于房间的数量是无限的。
按照刚才的结论，也就是从1开始的自然数们个数和从2开始的自然数个数，哪个比较大？
一样大。
所以第一间房就空出来。新来的客人就有房间住。
这个时候又来了无穷多个人说要住店。
于是服务员把第一间房的客人移到第二间房，第二间房的客人移到第四间房，第三间房的客人移到第六间房，以此类推。
这样所有奇数房号的房就全部空下来了。
又因为所有奇数的个数等于所有自然数的个数。所以这些人还是能够住下。
那是否所有无穷大都是相等的？
感觉都能找到一一对应的映射。
再看一个问题。
自然数的个数和一条线段上的点的个数哪个多？
把线段中的一个点作为原点。
每一个点到原点的长度就表示这个点的序号。
然后再来找一一对应关係。
线段的0点对应着自然数1。然而无法得知线段上的第二个点是多少。
0.00001也不是第二个点。因为还有比它小的点。
这两个无穷大做比较就找不到一一对应关係。
实际上线段上的点要比自然数的个数多。
这两个无穷大就不是一样大了。
在公理集合论当中，如果两个无穷大相等。就像是偶数个数和奇数个数，这叫做等式。
或者说它们具有相同的基数。
基数简单理解就是无穷集合的元素的个数。
势就表示了无限集合当中元素的多少。
什麽叫做可数？
任何势小于自然数集的集合称作无限集合，比如说1-100。
任何势和自然数集一样的集合，称作可数无限集合。
比如说偶数集，奇数集。
虽然是无限的但是是可数的，这叫做可数无限集合。
任何势大于自然数集的集合称作不可数集合。
也就是一般说的不可数，比如说线段上的点。
有一个有趣的事，无论这个线段的长度是多少。它上面的点的个数都是一样多的。
比如说有一个比较长的线段和一个比较短的线段。
你可以把它们的其中一端相连。然后构造一个三角形。
衹要和底边平行的线就可以在这两个线段上截出两个点。
这两个点就是一一对应关係。
所以所有线段上的点的个数都是相等的。
那一个二维平面上的点和一根线段上的点谁比较多。
直觉感觉是平面上的点比较多。
但是答案还是一样的。
可以这样找映射。
假设有一条长度为1的线段和边长为1的正方形。平面上的任意一点都有相应的座标。比如说（0.58,0.34）。
那要怎麽做才能把这个点表示在线段上呢？
同样还是上面取一个数，下面取一个数就行。
所以座标（0.58,0.34）就可以表示线段上的点0.5834。
无论你的点有多複杂，数有多长。衹要照着错位写下来就可以了。
同理还可以知道一个立方体中的点的个数和一条线段上的点的个数依旧是相等的。
这样就已经至少知道两种无穷大了。
接下来说曲线。
曲线的各种奇奇怪怪的样式就是第三级无穷大。
在数学上很容易定义一个第四级，第五级无穷大。但是目前为止能理解的就是能具体到生活中的只到了第三级。
这就和以前的原始部落一样，无法超过三。
之前说的第几级无限康托尔用了一个专用符号来表示。是一个希伯来字母ℵ读作阿列夫。
阿列夫零乘表示可数集像自然数集。
阿列夫一就是线段上的点。
阿列夫二就是曲线的样式，
以此类推。
现在回到希尔伯特的第一个问题，连续统假设。
连续统就是可以连续变动的意思。一般表示实数集。
连续统假设说的是不存在一个基数绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合。
基数就是无穷集合的元素个数。
可数无限集就是阿列夫零。
这个假设认为实数集的基数就是阿列夫一。
二者中间不存在其他的阿列夫数了。
这就是连续统假设。
最终的证明就是在ZFC（函选择公理的策梅洛.弗兰克尔集合论）框架下。
连续统假设既不能证明也不能证伪。
就像哥德尔不完备定理一样。
所以衹能把其当做一个公理。
不能证明或者证伪在某种角度看来就是意味着是对的。
无限严格意义上来说是一类数。你需要用无限的数去谈论和比较那些无穷尽的总数。
不过某些无穷的总数，某些无限真的就比另一些无限更大。
首先，如果一个数指的是东西有多少。那它就叫做基数。
例如四支铅笔。十二张卡片。二十个圆点。
二十就是这一组圆点的基数。
两个集合具有相同的基数，就是指两者包含的东西一样多。要展示这一性质，衹要把一个集合的每个元素跟另一个集合的每个元素一对一的配成对。
基数相同。
用自然数也就是0,1,2,3,4,5等等作为基数。衹要谈论的东西有多少个就用它们。
可是自然数有多少个呢？
不可能是自然数之中的某个数。
因为总还有一加上那个数在它之后。
这个总数专门有个名字。
阿列夫零。
阿列夫零是第一个，也是最小的一个无限。
ℵ0（aleph-nought，也 aleph-zero 或 aleph-null）是所有自然数集合的基数，并且是无限基数。所有有限序数的集合，称为ω或者ω0，具有基数ℵ0。集合有基数ℵ0当且仅当它是可数无限的，即它与自然数之间存在双射（一一对应）。这种集合的例子是
所有整数的集合，
整数的任何无限子集，例如所有平方数的集合或所有素数的集合，
所有有理数的集合，
所有可构造数的集合（在几何意义上），
所有代数数的集合，
所有可计算数的集合，
所有有限长度二进製字符串的集合，以及
任何给定的可数无限集的所有有限子集的集合。
这些无限序数：ω，ω+1，ω×2，ω^2，ω^ω和ε0属于可数无限集。例如，所有正奇数后跟所有正偶数的序列（序数为 ω×2）
{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...}
是集合的一个排序（具有基数ℵ0) 的正整数。
如果可数选择公理（选择公理的弱版本）成立，那麽ℵ0小于任何其他无限基数。
重点是阿列夫零比任何有限的总数都要大。
葛立恒数乘以无限？TREE（3）乘以无限？
阿列夫零也比这些大。
可是我们能数到它之后。
画一堆线段，每一条的长度都是前一条的几分之几。而且离前一条的距离也是几分之几。那样就能把无穷多条线段塞进有限的空间。这些线段的条数等于全部自然数的个数。
两者能够一一对应。
总会有下一个自然数，但也总会有下一条线段。
这两个集合的基数都是阿列夫零。
可是如果这麽做会怎麽样？
在这堆线段之外额外画一条线。
这样一来线段有多少条？
阿列夫零加上一？
不，无穷尽的总数不同于有限的总数。这还是祇有阿列夫零条线。因为仍然可以跟自然数一一对应。
衹要先把自然数中的零和额外画的那一条线配对。然后再把一配对给那堆线段中的第一条线。线段总数显然没变。
甚至可以添加两条，三条，四条线。结果总数还是祇有阿列夫零个东西。
甚至可以再加阿列夫零条线。但是数量仍然不变。
偶数跟原来的那堆线段配对，奇数跟另一堆线段配对。仍然是每个自然数配一条线。
还有一个好办法可以看出这些线并不增加总数。
办法是证明完全不必画新的线也能造出同样的序列。
衹要每隔一条线取出一条一起放到末尾就行了。
完全一样。
奇数线段和偶数线段包含的数量个数一样多。而这两者包含的数量个数也和自然数一样多。
可是双方显然有某种区别。
如果区别不在于多少，那区别是什麽？
回到阿列夫零那麽多条线后面祇有一条线的情况。
假如我们不衹是一对一配对自然数。还要求必须按照线段被画出的顺序挨个去数会怎麽样？
那样我们衹能先从额外画出来的那条线开始数。
那样就多数了一个。
在无限王国中，按顺序给东西标号跟清点总数区别很大。
额外画出来的那条线对总数没有贡献。但是为了按照出现的顺序给它标号。我们就需要一套延伸到自然数之后的数字标籤。
我们需要的是序数。
第一个超限序数是ω。它就只是下一个必要的标籤。计数用的无限多个数全部用掉之后就得用它。
如果你再跑得了第ω名。那意思就是有无限多个人跑完之后你才跑完。
ω之后是ω+1。看着不像一个数。但他真的是数，跟2或12或900一样。
接着是ω+2,ω+3……
序数按顺序给东西标号。序数讲的不是东西有多少。而是告诉我们这些东西如何排列。即它们的序型。
一个集合的序型就是给其中所有东西一是标号时，不需要用到的头一个序数。所以对于有限的数，基数与序型是相同的。
全体自然数的序型是ω。而在全体自然数序列之后的序型第一个是ω+1。然后就是ω+2,ω+3……
不管排列的多长，衹要是良序的。也就是每个部分都包含一个起始元素。那麽这整个东西就描述了一个新的序数。
但是如果是在玩一个游戏，叫做「谁能说出最大的数字」。
要是你想说ω+1。那就要小心一点了。你的对手可能会要求你说的数必须是基数。
必须指的是总数。
而这些数指的是同样多的东西，祇不过排列不同。
ω+1并不比ω更大。它衹是排在ω之后而已。
不过阿列夫零也不是终点。
因为可以证明还有比阿列夫零更大的无限。确确实实包含了更多的东西。
其中一种最好的证明方式是康托尔的对角线论证。
阿列夫零的幂集。
一个集合的幂集就是能够由它取出所有不同子集的集合。
比如由｛1,2｝这个集合。
可以取出空集，或｛1｝，或｛2｝，或｛1,2｝。
可以看到幂集包含了比原集合多得多的元素。
全体自然数的幂集是什麽？
第一排黑色笔列出了所有的自然数。
第二排是全体偶数构成的子集。绿色笔的Y代表是，红色笔的N代表不是。
第三排是全体奇数构成的子集。
第四排是只包含3,7和12的子集。
第五排是除5以外所有数。
第六排是只有5没有别的数。
而显然子集的列表也会是无限的。
但是设想把它们全部一一对应到自然数。如果在这之后仍然有办法继续产生新的子集。产生显然没有列在这裡面任何一处的子集。那麽我们就知道我们造出了一个集合。它的元素个数比自然数还多。
一个比阿列夫零还大的无限。
办法是这样，从左上角第一个子集开始。看见什麽就反过来。
0是这个集合的元素，所以新的集合就不要包含0。
下一步沿对角线走到第二个子集，看1是不是它的元素。
1是它的元素，所以新子集就不要有1。
以此类推。
可以看到，这刻画了这样一个子集。根据定义，它跟这个长度为阿列夫零的列表中，每一个子集至少有一处不同。即使把这个新子集放进去，还是可以再做对角线构造。
自然数的幂集总是会拒绝，然后跟自然数一一对应。它是比阿列夫零更大的一个无限。无限运用幂集，会产生出无法与前一个集合形成一一对应的集合。这是一个好办法可以快速製造越来越大的无限。
重点是，阿列夫零之后还有更多的基数。
来试试怎麽达到它们。
在ω之后序数跟基数分开了。这些数不再是基数了。
它们并不表示比我们之前达到的基数更大的总数。但也许它们能带我们去到更大的基数。
但有一个问题。
如果这一路往下，总是可以再加一，一直下去。把这个无尽的过程当成一个整体，后面再跟着某个东西？
答案是：可以。
因为这是数学，不是自然科学。在数学中设定为真的东西叫做公理。数学家们提出的公理并不是因为它更好的解释或预言了观察结果而更有可能为真。它之所以为真衹是因为我们説它为真。它的推论变成了我们观察到的东西。我们并不是在拿理论去符合某个物理宇宙。
它的运行以及背后的定律无论我们在与不在都一样。我们是在自行创造这个宇宙。
要是断言为真的那些公理引起了矛盾或悖论。可以回头调整一下，或者乾脆抛弃它们。或者衹要禁止我们去做那些导致悖论的事情。
而最奇妙的是。在确保我们接受的公理不出问题的过程中，我们把数学变成了这样一种东西。就像那句话说的一样。
数学在自然科学中不可思议的有效。
究竟是如何发明了这一切，又或是发现。
无法得到确切答案。
要得到ω，我们要做的衹是说出「要有ω」。
这正是1908年恩斯特.策梅洛做的事。
他把无限公理加进了规定数学中可以做什麽的公理清单中。无限公理祇不过声明了一件事，存在一个无限集合，即全体自然数的集合。
可以利用这个走得很远很远。
超出自然数和序数，最后抵达ω+ω。不过这就碰到新的极限了。一路走到ω+ω就创造了另一个无限集合。
而无限公理只保证了前面这个自然数集合存在。是不是每次描述了阿列夫零那麽多的数。就要添加一条新的公理呢？
不需要，替代公理可以帮助我们。
这条设定说的是取一个集合，比如全体自然数的集合。把其中每个元素替换成别的东西，比如苹果。得到的门仍然是一个集合。听起来简单，可是非常有用。
试一下，拿出直到ω的所有序数。然后不要换成苹果，而是在每个序数前添上ω+。这就达到了ω+ω，即ω乘以2。利用替换我们可以做任意跨度的跳跃。
衹要我们用的数都是已经达到了的。
我们可以把直到ω的每一个序数替换成ω乘以它。就达到了ω乘以ω，即ω平方。
替代公理使我们能够永无止境的构造出新的序数。最后达到ω的ω的ω的ω的ω……幂次幂次幂次。标准的数学表示法不够用。但是没有问题，就把它叫做ε0。
然后又可以继续下去。
不过先考虑一下所有这些序数。所有这些排列阿列夫零个东西的不同方式。它们也形成了良性排列，所以也有一个序型。即某个排在它们全部之后的序数。
在这裡，那个序数叫做ω1。
那麽根据定义，ω1排在阿列夫零个东西的所有序型之后。所以它描述的那个排列必定比前一个阿列夫包含了更多东西。不然的话，它就该排在这裡面的某个地方了。但是它并不在那裡面。
具有序型ω1的排列所要用到的东西总数也要用一个基数来描述，这就是阿列夫一。自然数的幂集究竟落在这条轴上什麽地方无法得知。它不可能在这阿列夫一，阿列夫零，这两个数之间。
因为这两者之间没有基数。它有可能等于阿列夫一。这种看法叫做连续统假设。但它也可能比阿列夫一更大。
无从得知。
就从这裡开始更上一层楼，达到越来越大的无限。
运用替代公理，我们可以用任何一个已经达到的序数比如ω。从一个阿列夫数跳到下一个阿列夫数直到阿列夫ω。又或者乾脆用更大的序数，比如ω平方。构造阿列夫ω平方。阿列夫ωωωωωω……
这个表示法只允许往下写阿列夫零个ω。
但替换法可不在乎有没有办法写出所达到的数。无论落在哪裡都放着更大的数。从而能做出比之前更大更多的跳跃。这一切构成了一个疯狂加速的反馈回路，不断放大。可以这样一直继续下去。由下往上达到越来越大的无限。
运用替换以及反復构造幂集。幂集可能跟各个阿列夫对齐，也可能不对齐。能让我们永无止境的攀登。
之前说过的是超过有限而达到ω。为什麽不再接受一条公理，承认还存在下一个什麽数。太大了，无论对比它小的东西做多少次替换或幂集，都无法达到它。
这样的数叫做不可达基数。
因为无法由下往上达到它。有趣的是，在已经达到的数当中，也能发现这种数的影子。
它就是阿列夫零。
这个数也是无法自下往上达到的。所有比它小的数都是有限的。有限多个有限数，透过加法，乘法，乘方……
或者有限跨度的有限次替换。甚至做有限次幂集。都不可能得出有限总数之外的东西。
永远无法达到阿列夫零。
因此阿列夫零往往被当成一个不可达数。
得到阿列夫零唯一的办法是透过公理直接宣告它的存在。对于不可达基数也衹能这麽做。
很难讲清楚不可达基数究竟大到了多麽超乎理解的程度。
这麽说吧。从无到第一个无限，其概念上的跨度跟第一个无限到不可达基数的跨度是一样的。
而集合论者也已经刻画了比不可达基数还要大的基数。每一个都需要一条新的大基数公理来断言其存在，不断扩展数学宇宙的高度。
