这是一方极其诡异的抽象之地
目之所及,尽是一片永恒的黑暗与虚无
甚至【无】的概念本身在此都没有定义
死寂与空虚填满了这个抽象的“逻辑本身”
但在某一个不可知的节点,衪降临于此
衪创造了第一个存在性公理——x=x
等号这个概念,在某种程度上可以理解为双射的过程
衪创造了一个框架,来容纳这些及之后的公理
这个框架名为【集合论】
随后,圆满无缺的衪将自身力量中极其微不足道的部分流溢至其中
流溢在这之中的力量自发的构成了其他公理:
外延公理:
∀x(x∈a<->x∈b)→a=b
这个公理的意义是:如果集合a的每个元素都属于b,并且b中的每个元素都属于a,那a和b相等
分离公理:
∃y(y={x∈s| P(x)})
它的意义:给定任意集合a,根据他的性质φ,将a中所有满足φ的对象分离出来,可以构成一个新的集合
这个新的集合就是{x∈a|φ(x)}
下一步便是构造空集:
∃!y(y={x∈s|x≠x})
也就是
y={x∈s|x≠x}<->y,这便是空集
a U b={x| x∈a V x∈b}
由∃y∀x(x∈y<->(x=a V x=b))与∀x(x∈y<->(x=a V x=b))<->y={a,b}
可有∃y(y={a,b})
于是便可以不停的构造后继了
顺带:
规定空集为任意集合的子集
因为对空集来说,不存在x∈φ
再定义
∃s(s=Ua)
Ua={x|∃t∈a(x∈t)}
以及∃s(s={x|x C a)
之后∀a≠0∃x∈a(x∩a=0)
引入x+=x U{x}
及∃s(0∈s∧∀x(x∈s→x+∈s))
最后∀x∈a∃!y(f={x,{y}})→∃z(z={y|∃x∈a(f={x,{y}}))
至此,逻辑之海最最底层元素构造完成
有限面对的是无限的绝望,无限面对的是超限的绝望,这便是逻辑之海底层的常态
在此之上,便是各种大基数公理与衪创造的【更高的盒子】
大全集V的层垒谱系:
V_0=0(空集)
V_n+1=P(V_n)
V_α=U V_b(对任意b<α)
V相当于{x|x=x},他的“强度”也是非常的高
比如对于L_a+1|=a=某某大基数,有V|=a=可数序数
我们不需要叠什么大基数的盒子,衪的力量直接定义了一个:
V能满足的命题均反映在同一V_k上
这样的k,便是V_k+b与V接近程度的终极图景
但V也是集合论宇宙之一,【无穷】的集合论宇宙形成了一个名为集多元的东西
【无穷】只是一个假名,这个东西要远远比上面定义的k大的多
随后是无限多元,无限盒子……
然后又回到集合论宇宙,全新的无限多元……
直接定义映射函数:
A(n)=第n次如同上述这样的循环
A(1,0)=a→A(a)的不动点
……
底层补充—公理界:
衪流溢出的部分中最最微不足道的底层的投影…自发的形成了一个【世界】
公理界的等级顺序大致如下(由弱至强排序):
1.公理界最基础元素—空集(定义见前文)
2.自然数集:
{0,1,2…},其对应的基数为阿列夫0,自然的,你可以定义{0,1,2…,ω},他仍然可以与自然数集建立双射
这也算是正式踏入无穷的领域了,无穷领域的每一个【庞大之物】单独拎出来,都是可以在一些论域内作为该论域的基数的
换句话说,无穷领域的每一个东西在某些世界观上都是【最强大之物】,或者说,全知全能
3.阿列夫一之下的分层:
由最小的ω出发,不断向上攀登,这种攀登的层级是无止境的,也远远不是单纯一句无止境所能囊括的
这种层级的计算器复杂度可以很高,远远不是本文中一句两句所能囊括的只能说,他们的复杂度是自然语言很难形容的:
比如说定义:
f(0)=ω
f(n)[n']=ω^f(n)[n]
f(n',0)=f(n,&)(&表示将除去他以外的部分迭代ω次)
f(n',m')=f(n,&…f(n',m)…)
当遇到极限序数a,取f($,a[n])作f($,a)[n]的基本列
以此类推,定义[1]为,进制,[n']为[n]进制
f(1,,0)=f(1[…]0)
,,存在[]分隔符的层级
对任意n'个,需要在它之外补上n个,的层
n/0=,,…(n个)
存在[$]/
n///…(n'个0=n[n[…]//…0]//…0(迭代n次,n个/)
n个/=/_n
有/_($,$…)的计算器
以此类推,直到最终极限
它的增长虽然很快,但仍然属于CK之下的层级(将稳定下放到ω的层级就可以轻易的超越他)
这一切之上便是CK,即admissible序数
Π_n-反射
稳定
j:L_a+1→L_β+2
L_a+2|=a=阿列夫一
V_a是V_a+2的∑_2-初等子结构
……
这一大堆以不可到达为基本单位的层级也是无止境的
这一切的极限是j:L→L
而真正的阿列夫一凌驾于他们之上
(在“更高层”看来,这些层级都是可数的)
4.阿列夫n:
阿列夫(n)=阿列夫(n-1)+(取基数运算)
5.世界基数:
V_k|=ZFC(对于V_a做一大堆复杂到爆的∑_n稳定链也到不了这个级别)
6.不可达基数:
不可数+正则+强极限
7.马洛基数:
称k为马洛,当且仅当小于他的不可达基数在他之上形成荟萃集
8.可测基数:
j:V→M的crit(j)
9.莱因哈特之下:
对M是V的子集,关于M对V的逼近,会使得越来越多的Φ(k)被见证,其强度自然也会逐渐上升,比如定义所有长度为λ序列在M之下封闭,并且λ的取值是所有序数
这样显然会让crit(j)变得更加强大
10.莱茵哈特:
令M=V
即j:V→V的crit(j)
它的强度甚至会导出不一致(能证明一切)
11.莱茵哈特及以上:
在莱因哈特之上的,例如伯克利:
对k∈M,存在j:M→M,使a<crit(j)<k(对任意a<k)