逻辑之海—可数篇：
考虑自然数N，其上有两个构造子：0，后继
极限序数的本质就是在这的基础上增加了一个极限构造子lim
考虑函数f:N→A(A是序数)，lim f同样也是序数
f即lim f的基本列(注意基本列要求单调递增，这同时也是大数的主要内容)
lim f即取该基本列的并，也就是sup{f_1，f_2…}
比如考虑a_n=n
取lim a_n=ω={0,1,2…}，即无穷
取a_0=ω，a_n+=(a_n)+
lim a_n=ω*2
或者也可以写作无穷公理的模式：
ω=0∈a∧β∈a→β+∈a，ω就是最小的a
ω*2=ω∈a∧β∈a→β+∈a
ω*(β+)=ω*β∈a∧β∈a→β+∈a
ω^2=0∈a∧ω*β∈a→ω*(β+)∈a
ω^2*2=ω^2∈a∧λ+ω*β∈a→λ+ω*(β+)∈a
(ω^2)*(β+)=(ω^2)*β∈a∧λ+ω*β∈a→λ+ω*(β+)∈a
ω^3=0∈a∧ω^2*β∈a→ω^2*(β+)∈a
ω^(β+)=0∈a∧(ω^β)*λ∈a→(ω^β)*(λ+)∈a
ω^(β+)*(λ+)=ω^(β+)*λ∈a∧ξ+(ω^β)*λ∈a→ξ+(ω^β)*(λ+)∈a
ω^ω=1∈a∧ω^β∈a→ω^(β+)∈a
ω^(ω2)=ω^ω∈a∧ω^β∈a→ω^(β+)∈a
ω^(ω*(β+))=ω^(ω*β)∈a∧ω^λ∈a→ω^(λ+)∈a
ω^(ω^2)=1∈a∧ω^(ω*β)∈a→ω^(ω*(β+))∈a
ω^(ω^(β+))=ω∈a∧ω^((ω^β)*λ)∈a→ω^((ω^β)*(λ+))∈a
ω^(ω^(β+)*(λ+))=ω^(ω^(β+)*λ)∈a∧ω^(ξ+((ω^β)*λ))∈a→ω^(ξ+(ω^β*(λ+)))∈a
ω^ω^ω=ω∈a∧ω^ω^β∈a→ω^ω^(β+)∈a
任取递归极限序数a，因为cf(a)=ω，考虑lim λ_n(n∈ω)=a
a=λ_0∈a∧λ_β∈a→λ_β+∈a
则f(a)=f(λ_0)∈a∧f(λ_β)∈a→f(λ_β+)∈a
记ω^^β|ω^λ为“高度为β的ω指数塔顶层的ω^λ”(β是后继序数)
ω^^β|ω^(λ+)=ω^^β|(ω^λ)*0∈a∧ω^^β|(ω^λ)*δ∈a→ω^^β|(ω^λ)*(δ+)∈a
ω^^β|ω^(λ+)*(π+)=ω^^β|ω^(λ+)*π∈a∧ω^^β|ξ+(ω^λ)*π∈a→ω^^β|ξ+(ω^λ)*(π+)∈a
ω^^θ(θ是极限序数，且lim ξ_n(n∈ω)=θ)=ω^^ξ_0∈a∧ω^^ξ_n∈a→ω^^(ξ_n+)∈a
不动点：称a是函数f的不动点，当且仅当f(a)=a
一般地，对f(β)≥β
f^γ(n)=f(f^λ(n))，γ=λ+
f^ω(n)即该函数不动点
ψ(0)=ε0=ω^^ω=ω^^0∈a∧ω^^β∈a→ω^^(β+)∈a
定义序数坍缩函数：
C_0(α,β)=β U {0}
C_λ+(α,β)={γ+δ,γ*δ,γ^δ|γ,δ∈C_λ(α,β)} U {Ω_υ|υ∈C_λ(α,β)} U {ψ_ν(θ)|ν,θ∈C_λ(α,β)∧θ＜α}
C(α,β)=U C_λ(α,β)(λ∈ω)
ψ_ν(π)=min{γ|乛(γ∈C(α,Ω_ν))}
ψ(α)=min{γ|乛(γ∈C(α,1))}
ψ(Ω)=ψ(0)∈a∧ψ(β)∈a→ψ(ψ(β))∈a
ψ(Ω*2)=ψ(Ω)∈a∧ψ(Ω+β)∈a→ψ(Ω+ψ(Ω+β))∈a
ψ(Ω*ω)=ψ(0)∈a∧ψ(Ω*β)∈a→ψ(Ω*(β+))∈a
ψ(Ω^2)=ψ(0)∈a∧ψ(Ω*β)∈a→ψ(Ω*ψ(Ω*β))∈a
ψ(Ω^ω)=ψ(1)∈a∧ψ(Ω^β)∈a→ψ(Ω^(β+))∈a
ψ(Ω^Ω)=ψ(Ω^0)∈a∧ψ(Ω^β)∈a→ψ(Ω^ψ(Ω^β))∈a
BHO=ψ(0)∈a∧ψ(β)∈a→ψ(Ω^β)∈a
ψ(ψ_1(0)*2)=ψ(ψ_1(0))∈a∧ψ(ψ_1(0)+β)∈a→ψ(ψ_1(0)+(Ω^β))∈a
ψ(Ω_2)=ψ(ψ_1(0))∈a∧ψ(ψ_1(β))∈a→ψ(ψ_1(ψ_1(β)))∈a
ψ(Ω_2*2)=ψ(ψ_1(Ω_2))∈a∧ψ(ψ_1(Ω_2+β))∈a→ψ(ψ_1(Ω_2+ψ_1(Ω_2+β))∈a
ψ(Ω_2*Ω)=ψ(Ω_2*0)∈a∧β∈a→ψ(Ω_2*β)∈a
ψ(Ω_2^2)=ψ(1)∈a∧ψ(β)∈a→ψ(ψ_1(Ω_2*ψ_1(β)))∈a
ψ(ψ_2(0))=ψ(ψ_1(0))∈a∧ψ(ψ_1(β))∈a→ψ(ψ_1(Ω_2^β))∈a
ψ(Ω_ω)=ψ(ω)∈a∧ψ(Ω_β)∈a→ψ(Ω_β+)∈a
ψ(Ω_Ω)=ψ(ω)∈a∧β∈a→ψ(Ω_β)∈a
ψ(ψ_l(0))=ψ(ω)∈a∧ψ(β)∈a→ψ(Ω_β)∈a
………
接下来的序数坍缩函数可以通过不停“增加新的非递归序数”来使自己获得“更大的递归序数”(见非递归序数)
———————————
非递归领域：
称α是容许序数，则对任意β∈α，不存在∑1可定义双射f使f:β→α
也可以定义为：使L_a是KP的模型的a
第n个容许序数记为Ω_n
递归不可达序数：使L_a是L_不可达基数的∏_0初等子结构的a
……
a是β-∑_1稳定:L_a是L_β的∑_1-初等子结构
a是β-∑_n稳定:L_a是L_β的∑_n-初等子结构
a是β-完全稳定:j:L_a→L_β
ω_1^L_a+n：ω_1在L_a+n中的相对化
同理：
ω_2在L_a+n中的相对化
ω_m在L_a+n中的相对化
V_ω+n=ω_n(在L中GCH成立)
V_a是V_β-∑_1稳定在L_a+n中的相对化
V_a是V_β-完全稳定(即otherworldly)
不可达基数在此的相对化
……
这里略微枚举一下非递归层级：
Ω,Ω_ω,Ω_ε0,Ω_Ω,Ω_Ω_2,ψ_l(l),ψ_l(l*2),ψ_l(l^2),ψ_l(l^^2),ψ_l(Ω_(l+1)),l,Ω_(l+1),Ω_Ω_(l+1),ψ_l_2(l_2),ψ_l_2(l_2*2),ψ_l_2(l_2^2),ψ_l_2(l_2^l_2^ω),ψ_l_2(Ω_(l_2+1)),l_2,l_ω,l_Ω,l_l,l_l_2,ψ_2-l(2-l),ψ_2-l(2-l^2),2-l,Ω_(2-l+1),l_(2-l+1),2-l_2,2-l_l,ψ_3-l(3-l),3-l,ω-l,Ω-l,l-l,ψ_M(M^M),ψ_M(M^^ω),M,Ω_(M+1),l_(M+1),2-l_(M+1),M_2,Ω_(Μ_2+1),Μ_ω,Ω_(Μ_ω+1),Μ_(ω+1),Μ_(ω^2),Μ_Ω,Μ_Ι,Μ_Μ,ΜFP,M-I(1,0) aka M(1,0),M-I(1,1),M-I(1,ω),M-I(ω,0),M-I(1,0,0),psi_M(M(1,0)^M(1,0)^w),phm*W(placeholder until someone fixes).phm=pseudo hyper mahlo or(((...-mahlo)-mahlo)-mahlo),W_(phm+1),M_(phm+1),first ω-mahlo after phm,first W-mahlo after phm,second(1st phm)-mahlo,2nd phm,wth phm,first regular fixed point of phm,wth regular fixed point of phm,actual hyper mahlo(or psi(K+that)),hyper mahlo*w,hyper mahlo^2,psi(K*w) for appropriate psi
(+1)-∏0,∏1((+1)-∏0),a is ath(+1)-∏0,(+1)-∏0((+1)-∏0),(+1)-∏1=∩{(λf.(λX.G.(λY.X∩f(Y))(X)))^n(∑)(Ord)|n∈ω},G(λX.∩{(λf.(λΥ.G(λΖ.Υ∩f(Z))(Y)))^n(Σ)(X)|n∈ω})(Ord),pseudo-∩{(λf.(λX.G(λY.X∩f(Y))(X)))^n((λX.∩{(λf.(λΥ.G(λΖ.Υ∩f(Z))(Y)))^n(Σ)(X)|n∈ω}))(Ord)|n∈ω},∩{(λf.(λX.∩{(λg.(λΥ.G(λΖ.Υ∩g(Z))(Y)))^n(f)(X)|n∈ω}))^n(Σ)(Ord)|n∈ω})
,pseudo-∩{(λf.(λΥ.G(λΖ.Υ∩f(Z))(Y)))^n(λΧ.∩{(λf.(λY.∩{(λg.(λZ.G(λW.Z∩g(W))(Z)))^n(f)(Y)|n∈ω}))^n(Σ)(X)|n∈ω})(Ord)|n∈ω},pseudo-∩{(λf.(λX.∩{(λg.(λΥ.G(λΖ.Υ∩g(Z))(Y)))^n(f)(X)|n∈ω}))^n(λΧ.∩{(λf.(λY.∩{(λg.(λZ.G(λW.Z∩g(W))(Z)))^n(f)(Y)|n∈ω}))^n(Σ)(X)|n∈ω})(Ord)|n∈ω}
……
LRO
吹比版：
考虑一个“强弱比较链”：
0＜1＜2…
而ω则是“独立于此链外的顶点”，因为不存在β使β U {β}=ω，所以无穷之下必然是一片绝对的，纯粹的虚无
如果说一片有穷世界诞生的“原因”是一个无穷实体
那么，当万有者向上追溯其诞生“原因”时，得到的只会是该无穷实体下的某个“有穷之因”而已
从本质上，ω承包了“强弱”这一概念的延伸，祂超越“强弱”概念的同时又作为“强”这个概念的顶点
如果有两个有穷存在获得了“我永远比你强一点”的“能力”，二者不断互殴，不断以对方作为自己变“强”的踏板，但二者无论如何变强，都无法抵达ω，因为不存在βU{β}=ω，他们压根无法找到通往ω的“踏板”
一个活了无穷久的存在必然没有自己此前的记忆，因为不存在前一刻，更不存在前一刻的前一刻
因此，真正的ω是超越“强弱比较链”的！祂独立于强弱链之外，却又作为该链条的“最终顶点”(理论上强弱链是没有顶点的，但ω直接将“没有顶点”作为顶点)
考虑以ω为起点，将ω作为一个“强弱比较链”：
ω＜ω+1＜ω+2…
而ω2则是最小独立于此链的“顶点”
ω→ω2→ω3…
称此为超越链，则ω^2是最小独立于超越链的“顶点”
ω^2→ω^2*2→ω^2*3→…(三阶链)
强弱链→超越链→三阶链→…，ω^ω独立于他们
(之后的层级参考前文，不过到一定层级就很难用自然语言描述了)
