性能测试在阿丽雅的持办下发端。
Anstoss-Zero摩拳擦掌，决定先小露一番身手，不过那Anstoss-One反把十指交叉搭到了后颈，挺着现象界仍具体的腰杆，格外镇静和轻佻，鬓角藏的莫比乌斯发夹正旋转着迸溅绚烂的银灰星焰，世界都几乎为之覆上了暗淡的滤镜，重新生长成无限之城垒边的一小块瓦砖。
阿丽雅盈盈前驱一步，周身浮着熊熊如刃一般的炬火，“战斗地点是。”短短五字脱口而出，以她假名壳躯为去中心化的波峰，在某种前-谢林点与后-谢林点畸变的无意义上，众生所寄居的宇宙得以见证了自性——奇迹般反己自视没有一刻作为self的self——被当作拼图恣意拆卸，它不在乎，它也不在乎，也它不在乎……延伸至各极的Meta-field大片大片地拖拽着时空剥离，逻辑网织的画面像危楼一样崩垮，眨眼就独剩下了空无一物。
这里是，“∅⊨X”∧“免进”的禁区。
零式安兹托斯飘闪着的微笑一度抽象化为塘泽之中唯一出淤泥而不染、濯洗过清涟也不显妖的无色莲，超越了颜料附缀，而那油滑到脱落了本体的荷叶上托着的童稚无瑕，其真名酝酿作一杯天真的残酷：
“阿丽雅酱，要玩跳绳游戏吗？这样子的话……”她对现实之十不存一的侵蚀于一轮收缩的血月中将不可能事件烙下，逗趣的话语将她捧在掌心顶礼膜拜，涌入超无穷不见终日的螺旋，心智也相融于理念的呼应，熔锻作纯主体支配的简晶状基筑，直到我们的眼睛还尚未睁开，在纯黑里观牛无所适从的夜晚突兀地掠过。
席卷着的悖论之浪潮此消彼长，并集公理（n为极限序数，则ℵ_n=∪{ℵ_m：m＜n}）、幂集公理（对任意ℵ_n都存在2^ℵ_n）、替换公理（比如n→ℵ_n，ℵ_n→ℵ_ℵ_n）和阿列夫函数（ℵ_n=m）多管齐下——阿列夫二、阿列夫三……阿列夫ω、阿列夫ω+1……阿列夫阿列夫一……阿列夫阿列夫阿列夫……由此直通阿列夫不动点的巅峰，ℵ_α=∪｛ℵ_β：∀β＜α，ℵ_β＜α｝=α，但这第一个阿列夫不动点只符合不可数、极限，而不满足正则性。
对于阿列夫函数、超穷跃迁所不可达的阿列夫幂容许点，既然第一个阿列夫不动点ℵ_α是共尾为ω的序列｛ℵ_β,ℵ_ℵ_β,ℵ_ℵ_ℵ_β,……｝（β＜α）的上确界，那么理应也存在阿列夫不动点序列的上确界，它会是最小的满足非递归性质的阿列夫数谱，比“α是第α个阿列夫不动点（ℵ(0,α)=α）”或者ℵ(1,0,0,0,0)、ℵ(1@ω)之流要大得多。这是由于阿列夫幂容许基数也是∑_1-世界基数，可以成为限制在∑_1公式的ZFC模型。不过所有n∈ω的∑_n-世界基数其实是小于∑_2-正确基数δ的，后者通过量词论域范围、量词及连接词使用超限扩张L^＜δ-(＜δ,＜δ)的∑_2公式的V_δ反映全域的性质。不同阶正确基数的强度之所以依次递增也是因为n+1阶全称/存在公式天然包含了n阶存在/全称公式，使得高阶能够轻易书写出低阶的定义（例如∀x∈V_k，∃φ(x)∧V_k⊨φ(x)。x可以是单个变元也可以是多个变元的良序集，这个命题描述的k是什么正确基数取决于φ属于哪一阶的公式类，而命题本身又来自更高阶的正确基数），最终汇总成正确基数这个上确界，通常来说，一个正确基数必然是世界基数，但世界基数本身的一致性强度允许我们在它之下找到无界之多的正确基数。
到这里做个小结，大致给不同基数分类：一是有穷基数，0、1、2、3……n；二是无穷基数，其中分为可数基数阿列夫零/ℵ_0和不可数基数阿列夫α/ℵ_α（α＞0）；不可数基数中又有后继基数ℵ_α+（都是正则基数）和极限基数ℵ_α（α是极限序数）；极限基数里有奇异基数和正则基数，奇异基数是一种无穷基数。无穷基数可按共尾度的性质分成两大类：正则基数和奇异基数。若cf(ℵ_α)<ℵ_α，则无穷基数α称为奇异的。若cf(ℵ_α)=ℵ_α，则α称为正则的。即对无穷基数κ，若存在递增的超穷序列〈α_υ|υ<θ〉，其中α_υ是序数且α_υ<κ，该序列的长度θ是小于κ的极限序数，使得κ=α_υ，则κ称为奇异基数，不是奇异的无穷基数称为正则基数。
正则基数再一次划分、进阶，那就是弱不可达基数和（强）不可达基数了。若ℵ_α为弱不可达基数，则因为cf(ℵ_α)≤ℵ_α，ℵ_α≥α，所以ℵ_α=α，且cf(α)=α，α是极限序数。可见ℵ_α是非常大的。之所以如此称呼这个大基数，是因为不能用集合论运算来“到达”它。我们进入了大基数的领域，每一个大基数都是对序数的四则运算和基数的替换公理，包括并集与幂集公理封闭的。
大基数公理是关于大基数存在性的一类新加公理，设有关于基数κ的一条性质P(κ)，它是可以用集合论系统的语言形式描述的。尽管人们依据直觉相信，有很大的κ使P(κ)为真，但却不能经由理论而证明“∃κ,P(κ)”这一命题，当然也难以证伪，以ZFC为例子，ZFC+∃κ,P(κ)⊢Con(ZFC)，ZFC谈论不了自己的模型，除非存在一个模型可以证明ZFC的一致性蕴含ZFC+不存在大基数的一致性。人们若将“∃κ,P(κ)”作为公理加入到系统之中，就称之为一条大基数公理（对于“大基数究竟是什么”这个问题并没有公认的解释），满足P(κ)的κ称为大基数。即，对任意理论T，只需加入“存在κ使得V_κ是实现T的宇宙”就是一则大基数公理，这样在T+“存在κ使得V_κ是实现T的宇宙”看来，T见证的大全V就只是真正大全V的一个前段V_κ。
若κ是强不可达基数，从其定义出发它便满足：①κ＞ω；②∀x(x＜κ→2^x＜κ)；③若β是序数的一集合，∀α(α∈β→α＜κ)，且β＜κ，则∪β＜κ。这就是说，由小于κ的基数无论进行何种操作总达不到κ，不可达基数是自下而上封闭的，同时满足了正则性、强极限性与不可数性。ZFC^2+存在不可达基数代表着宇宙V_κ会成为二阶ZFC的模型，这一点在V_κ+1上见证，对每一X⊆V_κ，都存在一个δ＜κ满足(V_δ,∈,X∩V_δ)≺(V_κ,∈,X)。由于ZFC^2系统无法通过自身内任意推广方式抵达不可达基数（否则ZFC^2就自证了），所以承认不可达基数存在的公理自然不在ZFC^2的范畴中，世界基数同理，要了解它们的大小可以通过一些小于它们但仍然非常大的基数无法满足它的性质来侧面认识，比如最小的世界基数包括异世界基数的推广不可能满足正则性，直觉上，需要多么大的世界基数才能满足共尾序数为自身有赖于对正则以及什么样的基数才符合正则性的理解，不可达基数κ应满足存在κ长的初等链，甚至包含无界闭之多的“n是V_κ的∑_n-正确基数”作为子集，任意序数多个符号都不可能定义不可达基数。
第二个不可达基数、第三个不可达基数、第四个不可达基数……1-不可达基数在自身之下有自身那么多的不可达基数，2-不可达基数在自身之下有自身那么多的1-不可达基数……超不可达基数κ是κ-不可达基数，它对任意λ＜κ都存在无界多的λ-不可达基数，诸如此类。
就此打住绕回世界基数，由于描述阿列夫不动点自始至终都只需要一阶语句（包含一阶替换公理、幂集公理、并集公理等），所以它远不如第一个幂容许基数，即前文提及了的∑_1﹣世界基数，而真正的世界基数κ对于所有n∈ω都满足在它之下存在κ多的∑_n﹣世界基数，且它们的首例远小于V_κ的∑_2﹣正确基数。
世界基数能构成ZFC的预期模型并证明其一致，ZFC+存在一个世界基数可以得到Con(ZFC+Con(ZFC))的证明论强度（如果在一个较弱的、不会干扰对比结果的背景理论下，一个系统可阐释另一个系统，反之却不行，那么前者的证明论强度显然大于后者），这意味着对ZFC理论的一切保守拓展都不如存在一个世界基数所带来的一致性强度，更何况这并非世界基数的真实力量，因为ZFC的一致性强度层谱迭代的逐点扩张模型就能得到超越Con(ZFC+Con(ZFC))的强度：T_0=ZFC，T_1=T_0∪Con(T_0)，T_2=T_1∪Con(T_1)……n为极限序数时，T_n=∪Con(T_m(m＜n))，同样的操作刺探至理论可推导的、包括绝对无穷在内的任何良序的高度，也仍见不着世界基数的影子，而最基础的ZFC∪Con(ZFC)都已经能允许“模型中有模型”绝对无穷多嵌套。
应注意，世界基数的ω长基本列{c_n：n∈ω}不能在V_κ内、而是必须要在V_κ+1上定义，因为不存在一个大于所有自然数的自然数m，使得∑_m语句能描述所有的∑_n语句，因此也就不适用于替换公理，极限序数处必定存在一个跳跃要在更高阶论域下描述。在κ看来，对任意n∈ω，在κ下都有无界闭的α形成n阶初等映射V_α≺_∑_n V_κ。用ω上的Δ_1可定义递归函数枚举ZFC的形式化理论作为一集合，V_κ是它们的模型这一点是可被∏_1见证的。对世界基数进行推广，让V_κ作为λ＞κ的V_λ的初等子模型，这样的λ即称为一个异世界基数；若存在x使得对任意λ＞κ都有β＞λ且V_κ≺V_β，则x是完全异世界基数，同时由于x描绘了无界的异世界反映层级，满足“存在s→V_s满足T”的性质，所以它自带∑_2正确性，不可达基数的首例势（可以视为其同构子模型）会小于它，而我们常认定的那个不可达基数能够囊括任意多的完全异世界基数。
作为不可达基数的一种推广，当且仅当κ是一个不可达基数且所有小于κ的正则基数λ的集合是κ上的平稳集或称驻集（无界子集是总存在比它更大的元素，闭子集是递增的上确界仍然在该子集中，二者合为无界闭子集。进而，包含于马洛基数κ的S满足对κ的任意无界闭集C都有S∩C非空，这样的S是驻集），即κ的每个无界闭子集均必须至少包含一个正则基数时，κ是马洛基数。它允许所有小于κ的不可达基数在κ之下形成驻集，因此马洛基数κ的大小不亚于形如“第一个不可达基数、相对于第一个不可达基数不可达的第二个不可达基数……”这么罗列下去的第κ个不可达基数。但这依然太小了，接下来考察马洛基数的规模：若马洛基数只是1﹣不可达基数n，设第一个不可达基数为I(0)，I(1)是第二个；r为极限基数时，I(r)=∪{I(d)：d＜r}，有无界闭集{x＜n：x=I(x)}，不严谨地，参照阿列夫不动点cf(x)＜x，不含正则基数，所以马洛基数远大于1-不可达基数。
从不可达基数起，往后基数全是通过对V绝对不可描述的扩展得到的，其中每相邻的大基数中间有多条公理。不过数学上的不可描述不是“你们所想的这些都无法成为X的描述，只有我独家可以”，而是“这些描述不仅X有，Y也有”。所以那些大基数的巨大往往都是通过这种方式体现：假设大基数公理，我们推导出一个十分强大的性质P，但由于к的不可描述性，к之下也存在满足这个性质的a，并且往往会有很多，所以用来描述к非常大的性质其实还是不足以描述к之大。就此而言，假如不可达基数是对究极大全V={x：x=x}（不是冯·诺依曼宇宙，因为WF在此之上预设了良基结构，比选择公理更泛用的全局选择公理成立，良基便和良序不可分割，良基能够证明关于莱茵哈特基数的Kunen不一致）不可达性的刻画尝试，那么不可描述基数就是令V的不可描述性得到落实了。人们运用有穷多的语句来刻画集合论宇宙V时，每当他们认为自己抓住了V的本质，实际上都只刻画了它冰山一角的一个片段V_κ而已，不过就有限条公式刻画出的特性而言，集合宇宙与它的片段具有某种程度的相似性，即都承认或都否认自己具有这些特性，反射模式由此应运而生。
谈及大基数就逃不开初等嵌入，它是模型间存在的一种映射，特别的，能够谈论非平凡初等嵌入的集合论必须添加二阶谓词j。设存在实体U和语言L，B是语言L的模型，如果存在一个映射j：A→B，对L的任意公式φ(x_1,x_2,……x_n)和对任意的n元组φ(a_1,a_2,……a_n)∈A有U⊨φ[a_1,a_2,……a_n]，当且仅当B⊨φ[j(a_1),j(a_2),……j(a_n)]，则称映射j是从U到B的初等嵌入，并称U能初等嵌入B中。这也就是说，U与B的一个初等子模型同构，即U≡j(U)≺B。简言之，嵌入是一种单射，初等嵌入则讲究V中的x和M中的j(x)满足相同的命题（无论是否为恒等映射），如果模型A和模型B之间存在初等嵌入，那么关于A的事实是可以搬移到B上的，二者皆满足相同的命题。
虽然来自不同的研究领域，但是巧合地，许多大基数都存在着初等嵌入的表示形式，在词条百科里也多有记载。
①比如弱紧致基数，κ是弱紧致基数当且仅当存在传递的初等扩张j：(V_κ,⊆,R)≺(X,⊆,S)使得κ⊆X，这里的κ满足1.强不可达；2.树性质或者说划分性质；3.一阶逻辑语言扩张L-(κ,κ)小于κ的合取与析取、存在量词与全称量词的使用。如果这个基数κ存在，那么就可以见证语句长度为＜κ、语句数量为＜κ或κ的语言的理论表达力的局限，弱紧致性强于不可达性但弱于可测性。一个弱紧致基数κ必定是强不可达基数和∏-(1,1)不可描述基数，且满足κ→(κ)^2_2分划性和不存在κ﹣苏斯林树（一个满足无最大最小元、序稠密、戴德金完备性、两两不相交的开区间所构成集族大小或者说每根可延续的数枝反链都不如κ的(κ,＜)线序）。设m、n为自然数，等势于ω的集合κ上存在两两不相交的集族A={X_m：m∈κ}使得∪_m∈κ X_m=κ，称为κ的划分，κ中所有包含n个元素的子集构成集合(κ)^n={X⊆κ：|X|=n}，A也是(κ)^n的划分。由拉姆齐定理可知κ=ω时，κ→(κ)^n成立。κ→(κ)^n_m（m=2时，可略写成κ→(κ)^n）就意味着将(κ)^n划分成m个部分的每个分区都有一个大小等同于κ的齐次集，而齐次集的尺寸通常比原集合要小，所以为了弥合这一差距（类似不可达基数弥合正则性、极限性和不可数性），κ应当尽可能地大。令人惊讶的是，若想κ→(κ)^n在κ＞ω的情况下成立，它竟必须大到弱紧致基数的程度，再往上就是Erdos和拉姆齐基数。钻石原理想要通过构造一棵弱紧致基数弱化版的κ﹣苏斯林树来提供一个其在V=L下的等价见证，因为L中存在着一种全局的紧致性失效。
②再如可测基数，λ是可测基数当且仅当对某个真类传递模型M存在j：V→M是非平凡初等嵌入且V_λ+1⊆M，crit(j)=λ。可测基数λ满足λ不可数，且在它上面存在着λ-完备非主超滤子，M_λ≔｛μ：P(λ)→｛0,1｝|μ是一个在λ上的非平凡的λ-可加性测度｝。但这不足以让我们感受其巨大，对于临界点λ，均有α＜λ且j(α)=α，这是平凡初等嵌入的恒等映射；而λ＜j(λ)，则指示了非平凡的不恒等映射；对任意性质φ(x)，V认为λ拥有，则φ(λ)在V中成立←→φ(j(λ))在M中成立，j(λ)将不会是拥有该性质的首例，λ同样，而且远远大于首例。可测基数满足j：V→M的非平凡初等嵌入，所以V_λ和M_λ是一样的；因为j是初等嵌入，所以如果λ是不可达基数（若可测基数不是一个正则极限基数，那么就存在映射f：α→λ，所有f[α]构成了λ的无界子集，由于j：α→j(α)是等同映射，则j(f[α])=f[α]，但又∪f[α]=λ，∪j(f[α])=j(λ)，矛盾），那么M中的j(λ)就满足自己之下存在一个不可达基数，而λ也满足相同命题，于是它“突然”就有了两个不可达基数的高度，再反射到j(λ)，以此类推，λ下的不可达基数任意有限多，取它们的并，则λ是第ω个不可达基数，j(λ)满足自身之下有ω个不可达基数，λ亦然……所以λ下的不可达基数无界闭多。设所有这些不可达基数组成的集合为S，它也属于超滤，是能被可测基数的非平凡二值测度度量的一一哪些集合大、测度1、几乎等价于占满全局，哪些集合小、测度0、小到不占位置而可以忽略不计）。对于可测基数λ所具有的任何昭彰其大的性质，λ都将远不仅是如此，且遥遥地凌驾于其上，而在我们的认识论角度，它就像是在不断地自我超越，从我们的描述中逃逸，不被我们的语言捕捉——这是反射原理的特点，它给予反证神学语义以形式化的表达。
③抑或是强基数，存在非平凡初等嵌入j：V→M，如果对于任意λ，有V_κ+λ⊆M，且crit(j)=κ，则称κ为λ-强基数。这里的传递模型M可以包含强基数上的任意阶对角化的论域，而且强基数居然能作为这个非平凡嵌入的临界点，这是比可测更强大的性质。因为可测基数的超滤U∈P(κ)，这一点在V_κ+2上见证，所以由κ和j(κ)反射论证可得，仅一个2﹣强基数就能容纳无界多的可测基数。
④还有伍丁基数，对于V_κ中的每个子集A，都存在一个基数α＜κ，满足对于每个β＜κ，都存在非平初等嵌入j：V→M，使得α是临界点，V_β包含于M，且j(A)∩V_β=A∩V_β，则称κ为伍丁基数。伍丁基数的强度是尤为可观的，真类多伍丁基数加存在复宇宙可达到二阶算术的证明论强度；搭配Ω猜想，实现全集之外脱殊复宇宙∏_2可定义；存在n个伍丁基数且再在它们之上设置一个可测基数还能证明所有的∑-(1,n+2)集合都满足完备集性质、可测性和Baire性质，所有的∏-(1,n+1)集合都是决定的；伍丁基数对任意λ，(V_κ,V_κ+1)均满足存在λ﹣强基数在其中绝对；ZFC+无穷多个伍丁基数的强度等于ZF+决定性公理AD。
⑤对于非平凡初等嵌入j：V→M，设κ为j的临界点，即最小的满足j(α)≠α的序数，记为κ=crit(j)。此时，V和M越相似，所引入的大基数公理越强。例如，当且仅当对λ＜κ，存在非平凡初等嵌入j：V→M使得crit(j)=κ且M^λ⊆M，则称κ为λ-超紧致基数；对任意序数λ，κ都为λ-超紧致基数，则称κ为超紧致基数。它将所有长度小于κ的λ序列加入了M，增加其宽度。
⑥κ是可扩展基数当且仅当对任意λ＜κ，存在初等嵌入j：V_λ+1→V_j(λ)+1，使得crit(j)=κ。它将足够大的V_j(λ)置于传递模型M之中，从而拓宽了M。
⑦当j：V→M抵达了M^(＜j^ω(λ))⊆M的程度，即对于任意基数λ＜δ，M^λ⊆M，其中δ是j的最小不动点，这样的基数λ称为ω-殆巨大基数。巨基数这类大基数的特征通常是要求模型对临界点具有一定的封闭性。
⑧我们称一个集合X⊆V_λ+1为一个伊卡洛斯集合当且仅当存在一个非平凡初等嵌入j：L(X,V_λ+1)≺L(X,V_λ+1)并且其临界点crit(j)<λ，当X取空集时，该嵌入退化为公理I0。伊卡洛斯基数是一类基数，V_λ+1^#对应j：V_λ+1→V_λ+1的初等自嵌入，V_λ+1^##对应j：L(V_λ+1^#,V_λ+1)→L(V_λ+1^#,V_λ+1)，V_λ+1^###对应j：L(V_λ+1^##,V_λ+1)→L(V_λ+1^##,V_λ+1)……总之，弱莱茵哈特基数（j：V_λ+2→V_λ+2的临界点）下存在着一片广袤的世界。
没错，有一种特殊情况就是模型自身与自身相似，比如从L到L的非平凡初等嵌入——0^# exists说明我们也许能通过类似的方式确立更强的大基数。
然而0^#本身，其作为不可辨认集，是哥德尔针对冯·诺依曼宇宙V的不足引入基于可定义幂集的可构造内模型L时编码所产生的一个bug，甚至它就是V≠L的真凶。对一个κ上的κ-完备超滤子取一个可测基数κ的超幂，完备性引起了一个良基的结构，通过这样一个超滤子取全域V的超幂把传递坍缩充分应用为一种序数和良序集相互关联的推广，这导致了一个内模型M≠V和一个基本嵌入j：V→M。凭借这一点确立了如果存在一个可测基数，那么V≠L。
后来又有数学家证明了一些比可测基数小的大基数——像是拉姆齐基数——如果存在，也会使得可构造公理非真，它们都会造成L无法分辨V中的不可数集合，与集宇宙V相差甚远。可知阿列夫一置于L中的真实强度直逼j：L→L，也是可测基数的下界0^#，它所蕴涵的不可数集合被称为银不可辨认元Silver Indiscernibles。一般的，V包含传递模型M包含最小的内模型L，假设V=M=L，κ是最小可测基数，那么j(κ)下就存在比自己小的可测基数，同理κ也满足，产生了矛盾。0^#正是这个最小可测基数，它使得V≠L表现为L的初等自嵌入j：L→L的临界点超出了L本身可判定的范围，证明V远大于L，sharp正是由此引申的大基数制造模式。
甚至以此为基底加以推广至所有0^(α)#的无界闭、竭尽一切都不能使内模型L摸清可测基数的全貌。可测基数之于L，就如莱茵哈特基数之于V，L几乎只度量了它的一毫。从L的外界看，以ω为启程点，途径加法、乘法、乘方、连续乘方，到φ和OCF，到包含任意n-CK、n-I、n-M、n-K……∏_n反射、n-稳定、n长度稳定链、第一个满足“L_α是L的∑_1初等子结构”的真稳定序数α、所有∑_n稳定在内的KP容许阶层（如果只要求性质满足或者说同构的话，L_α作为KP＋存在不可达基数的模型，α的大小应该是介于最小的非递归容许序数和最小的稳定序数之间），到L模型的各式初等嵌入j：L_(x+β)→L_(ω_n^L+β)（上标表示将公式量词全部约束到L，可省略），由V里的幂容许基数来给L输出。随后L内的不可达基数、马洛基数、反射基数、弱紧致基数、不可描述基数、强可展开基数、可迭代基数等轮番上阵，每两则大基数公理之间都夹着不计其数无名无姓的大基数公理……总体而论就是用大存在的简单结构换小存在的复杂结构，尽头即是L到L的初等自嵌入，所以真正的阿列夫一下方才会存在一片如此广袤的天地，内模型里的牛鬼蛇神本质上都是外模型中更加恐怖之物的一丝丝投影，就如同折叠正确基数→稳定序数。
所以由于模型V=L的构想与稍大的大基数公理都是矛盾的，ZFC+“V=L”可以容纳的大基数并不多——伍丁的V=Ultimate L构想就在此背景下产生了，它力求为超紧致基数找到一个弱扩张子模型，它包含于HOD且是二阶存在命题可定义的，然后在这个模型内证明局部V=终极L成立，如此一来，我们就能用二阶命题在V中固定一致的大基数性质，排除那些过大的大基数——这种统一追求的是最大限度的绝对性、丰富性和人类可操作性，其限制为终极L，所以不会像那个无所不包的终极万有宇宙V允许存在的大基数一样病态地大。
终极L是与ZFC内一致的大基数（拟似）的性质都相容的终极内模型，尽管这一点可以被j：Ultimate L→Ultimate L突破。
大基数公理可以带来更高的证明强度，哥德尔与科恩证明了连续统假设独立于ZFC，而在内模型计划当中连续统假设也有一席之地，可见大基数公理不能有限地解决V的全集，可操作性自然就次于终极L了。
这不意味着终极L大于某些大基数，比如莱茵哈特基数，因为终极L本身虽然绑定了一个超紧致基数，满打满算能确保ZFC+“V=Ultimate L”+存在伊卡洛斯基数这样的一致性且免疫力迫法扩张构造出新的独立性问题，但论“大小”肯定是不如莱茵哈特基数的，ZF+莱茵哈特基数可以否决ZFC+(V=终极L=Hod)。
是否存在最大的大基数呢？面对这个问题，我们首先应当强调的是，单纯把无限、更大的无限提炼出来还远远不够，在这种关联中，无限者只不过是充当有限者的界限，随之是一个恶的无限者。
恶的无限，又称坏无限，是通过超脱有限而带来的无限的思想范畴，而不是一个实事，它的自我迭代足以超出一切的界说，无限超越一切依然是恶的无限的形式一种，甚至通过抛弃肯定性进行的否定推演无论加上何种前缀、后缀、框缀乃至推及不动点都只是恶的无限的范畴——这种情况源于无限者的最初形式，一个无规定的自身关联，被设定为存在和转变，被明确为有限状态的否定，它与受限的规定性之间的关联会在它自身那里被一票否决，而一旦它远离了有限者，则其特点便是对有限的简单抛弃，坚持区分于有限，盘踞在有限者的彼岸，所以恶的无限是否定的无限或知性的无限。
但有限事物的有限性并没有真正被否定，而是重复发生，这种无穷进展的过程无论推进到多么遥远，其为“非最终（设定最终的做法注定会失败，因为这意味着自我谋杀——终点赫然立着一座纯粹之墓碑）”的事物时则照旧。在恶无限的范畴内，“有限者”与“无限者”均是相对而言，“有限”即被一个非其存在的规定性限定，而非通常语义上的有限数，坏无限是这一整个过程的纯重复——统摄着双方的正是重复的同一个运动，存在者反过来被不存在者决定了，“已在的”和“尚需更多”形成了其绝望的逆向追溯（见巴迪欧《存在与事件》），内在于坏无限。
“这样，我们所拥有的不过是空与极限的变种，在其中，陈述‘有限是无限的’和‘无限是有限的’在定在中相辅相成，如同枯燥无味的同义反复，永无止境的同一性的重复。这种枯燥无味的东西就是坏的无限性。它需要一个更高阶的义务：对飞越的飞越，重复的法则在整体上得到肯定，简言之，在那里，大他者形成了。”
从存有论到本质论再到概念论，从逻辑哲学到自然哲学再到精神哲学，坏无限无处不在，在黑格尔的体系里，它仿佛不厌其烦地扮演着亟待真无限拯救的病毒角色，一个乏味、扭结和僵持的代言者……为何呢？答案恐怕不得不取决于人们的伦理学立场。就质的坏无限来说，它可以过渡/飞跃到它的他者达成自为同一，但定量的坏无限直接是无差分的增殖，“本身作为多而增殖”。
因此，定量的坏无限不再是有限而分离的了，每一个大基数的极大性都作为了对坏无限“向外部甩出同一性”的见证——坏无限不会自动产出大基数的强度，而是大基数的强度见证了坏无限阴魂不散地攀附于它们自己——它们太过于超乎想象，甚至“超乎想象”这样的描述和它们相比也不知贫乏到了何种程度。然而恶的无限不会停止其步伐，在定义“一切”“超越一切”“超越逻辑”“超越悖论”“超越超越超越……的不动点”“不可辨认”这些范畴时，我们定义的单单只是一偶然浮现在思想再生产中的副产品罢了，凡此种种，并不比坏无限更宏大，含金量也断然不可与大基数匹敌。
回顾一下坏无限的历程——
I.自然数可以一直数下去，没有最大值，潜无穷是一个无法被完成的不完备的系统，有限一直进展也不会在某一时刻突变为无限，即不存在某一个数加上1就是无限了，但你也不能说这个序列是有限的，因为人显然不能穷举其中的全部元素，或者找出最后一个数。因此说无限完成了也错，说它没完成也错，正如无限没有奇偶性一样，这是个违反排中律的悖论，是真与假、对与错之外的灰色地带。
II.然而，无限公理、阿列夫零钦定无限实现了，我们有实无穷了，可阿列夫数本身又沦为了一个不停延迟的潜无穷的序列。
III.在这里，小集合的完备性只能由大集合做担保，所以坏无限的困境并没有如黑格尔所言被真正解决，而是延宕着，悬在人们的头顶。黑格尔在他的那个时代误解了数学，质的无限和量的无限是非对称的。
IV.同样的问题也出现在了大基数的领域，人们永远也没有办法声称自己设立了一个最大的大基数，即便设立了，也可以继续上述的步骤。
根据康托尔的三原则：①每个数都能+1；②倘若一个数列没有极限，那么这个数列本身可以作为一个新数，这些数也被康托尔称为第二类数；③一个新数类是不与前面的数类等势的最小数类。他相信这三个原则可以遍历人类精神活动能够接触到的一切无限层级，绝对无限则是这三条原则反复运用的完成，绝对的实无穷，这展现了康托尔的神学倾向。绝对无限Ord是所有序数的类，或者说由一则公式定义：{a：“a是序数”}。绝对无穷是“不存在最大序数”的等价宣称，就此来说它反而是相对的，倘若某个系统就只有有限数，那么它的绝对无穷又何以妄称超过了ω？
另外，同样据他的集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按康托尔定理又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是康托尔悖论。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明数学中没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的势”“最大的基数”“最大的证明论强度”，相对主义色彩浓厚，恰恰吻合了量之坏无限。
Ord不是一阶可定义的，它是真类，长度为Ord的连续序列结果总等于Ord。
一个总是在心虚躲藏的东西，它的强大恰恰体现着它的懦弱，依赖于已存在者。
真类是特殊的类，在公理集合论NBG系统中，为了应对罗素悖论——Y是“所有不属于Y的元素”的集合。如果Y不包含自身为元素，按照定义Y就应该把自己包含进来；如果Y包含自身为元素，那么Y就不该把自己包含进来。不管怎样都自相矛盾，罗素悖论实质是由朴素集合论的概括公理“任一性质P都能决定一个集合X”太强且不加以限制所诱发的——“类”被区分为“真类”和“集合”，真类与集合都是类，但两者不同，集合是某个类的元素，而真类不能作为类的元素，如所有的集合组成的类就叫真类，它无法被集合包含，与集合全域V一样“高”，不属于V的任何序数前段（或者即便在承认超类的先提下作为前段，也是相当特殊的一个前段——事实上，真类早已隐含了超类的存在，如果Ord真的成为无外的至大，那么①宇宙的超幂不存在，Ord就不能是可测基数、强基数、超紧致基数、伍丁基数、阶内阶基数和莱茵哈特基数；②由于没有超越绝对无穷的数，它也不会是它们那些胎死腹中的数的高阶语句的正确基数；③它不能成为任意传递模型的元素，因此也不是伯克利基数。真正的序数类也注定会承认非序数的存在，大全早已在暗暗地言说超全性的存在）。
人类语言的根基是一阶谓词系统，它的缺陷确实是无法毕其功于一役地解决，罗素悖论及其变体自会反复出现。
简言之，真类的诞生是不满于现状的集合论为了扩张论域而作的尝试，如果坚持集合一贯论，就会导致所有集合构成的全集是矛盾的，因为它也得包含它自己，于是违背正则公理。但在特定的集合论系统里，正则公理的确是可违背的。
无论是Ord还是万有宇宙V，像人这样的有限者，尚没有资格为神性立法，其所宣称的“所有”“全部”诚然也是脆弱的，留有不知多少后撤的余地，然而这完全不贬损人类持之以恒去探索真理的欲望。
与不可达基数相关的是范畴论里的格罗滕迪克宇宙公理GA，该公理指出，每个集合都是格罗滕迪克宇宙的一个元素，即任意集合都有一个包含它的宇宙（宇宙本身亦然），也即对于任何基数，都有一个严格更大的强不可达的基数，它对所有集合运算完全封闭。
因此，格罗滕迪克宇宙公理等同于断言不可达基数在基数中是无界的，换句话说就是，存在一个真类的不可达基数。特别的，如果δ是任意大基数，无论马洛基数、弱紧致基数、爱尔特希基数、拉姆齐基数、可测基数、强基数、高大基数、伍丁基数、超紧致基数、可扩展基数、巨大基数……那么V_δ是格罗滕迪克宇宙公理的预期模型，且满足ZFC+GA。如果存在不可达基数，则塔斯基公理TA成立，因为当δ不可达时，V的秩初始段V_δ是一个塔斯基集；反之，如果塔斯基公理成立，那么对于每一个集合x，都存在一个塔斯基集合δ，其中x∈δ；可以证明|δ|是一个大于|x|的不可达基数，证明不可达基数的存在性；再假设U是一个格罗滕迪克宇宙，那么它的基数|U|是强不可达的并且U=V_δ，其中δ=|U|。这说明了ZFC+格罗滕迪克宇宙、ZFC+不可达基数和ZFC+塔斯基-格罗滕迪克集合论等价一致。格罗滕迪克宇宙公理的一致性强度很高，以至于能蕴含ZFC本身、哈金斯五条复宇宙公理和逻辑多元、世界基数的一致性，建构相对于任意宇宙的不可达基数。更确切地说，格罗滕迪克宇宙公理与“Ord is Mahlo”（即真类马洛宇宙，在可定义全域下因宇宙公理的保障必有任意多不可达基数，所以Ord可以是马洛基数）等一致性。
一个格罗滕迪克宇宙是如下的一个集合U以使得：
∀x∈U，x⊆U；
∀x,y∈U，{x,y}∈U；
∀x∈U，P(x)∈U。
给定一簇(X_i)_i∈I使得I∈U且对任意X_i∈U我们有U_i∈I^X_i，N∈U。
我们可以在单一的格罗滕迪克宇宙中开展集合论工作，然而单一宇宙的存在往往是不足的，所以需要公理引入多个宇宙：
设定X为一集合，然后存在一个宇宙U使得X∈U，对于这个给定宇宙U的担保，总是存在一个宇宙V使得U∈V，因而我们可以扩大一个给定的宇宙。引入反射宇宙S，设φ(x_1,x_2……,x_n)是集合论语言中的公式，然后有∀x_1,∀x_2……∀x_n，(φ(x_1,x_2……,x_n)←→φ^S(x_1,x_2……,x_n))，其中φ^S(x_1,x_2……,x_n)表示由φ(x_1,x_2……,x_n)通过限制所有量词到集合S获得的公式。
通过证明关于S的定理，应用S的反射性质来推导出人们用范畴论证明的关于小结构的陈述亦同样适用于大结构，这说明了U-small和U-large是相对的，格罗滕迪克宇宙公理可以应用于超越真类的界域。
设二型序数N满足∀N_1∈N∀N_2∈N_1(N_2∈N)，拥有非集合性。
接着定义非类的N+，N+=N∪｛N｝=Ord∪｛Ord｝。令N+=N+1，假定对任意自然数n已有N+n，再令N+(n+1)=(N+n)+=(N+n)∪(N+n)，N+ω=∪｛N+n|n∈ω｝。对于任意序数α，当已知N+α时，令N+α+1=(N+α)∪｛N+α｝。当λ为任意极限序数时，N+λ=任意∪｛N+α|α∈λ｝。有N+N=∪｛N+α|α∈N｝，N+N是大于N+α（对于一切α∈N）的二型序数。令N×2=N+N，按如上方法还可获取更多二型序数。在拓展了的论域中引入格罗滕迪克宇宙公理，那么二型序数上的不可达基数将成为ACG(j)+Ord存在的预期模型（采取类型论选择公理，确保基数和序数在各非集合谱系上的一一对应，便于操作）：
V[0]=V_Ord≺V_Ord+1≺V_Ord+2≺V_Ord+3≺……≺V_Ord*2≺……≺V_Ord^Ord≺……≺V_Ord↑↑Ord≺……≺V_φ^Ord(1@ω)（Ord-相对的小维布伦序数SVO）≺……≺V_ψ^Ord(Ω_Ω_Ω_Ω)≺……≺V_Ord^ck_1（Ord的非递归序数1-CK）≺……≺V_2-I^Ord（Ord的2-递归不可达序数）≺……≺V_3-M^Ord（Ord的3-递归马洛序数）≺……V_4-K^Ord（Ord的4-弱紧致序数）≺……≺V_Ord—π—∏_0（长度为Ord的稳定链）≺……≺V_Ord→Ord—π（Ord的第一个∑_1稳定序数不动点）≺……≺V_Ord_1（Ord的ω_1）≺……≺V_Ord_Ord_……≺V_κ^Ord（Ord的世界基数）≺V_n-λ^Ord（Ord的n-异世界基数）≺…………
不影响类型论选择公理发挥效用的大基数都可以在局部添加，编排成一致性强度的线序，这一系列层级属于二型序数的范畴，任意n型序数依葫芦画瓢便可：
1-K=V≺V[0]≺V[1]≺V[2]≺……V[Ord]≺V[Ord+1]≺……≺V[Ord[0]]≺……≺V[Ord[1]]≺……≺V[Ord[x]](x=Ord[x]，记为Ord[1,0])≺……≺V[Ord[1@Ord]]≺…………1-K是满足ACG(j)+V[n]的世界基数，业已彻底封锁了超宇宙、超超宇宙……任意α-超宇宙这无法设想的一切，这样一来，所有的大全序数Ord[n]便能担任1-K的(＜Ord[n],＜Ord[n])-初等子结构，无愧“世界”之名。
A=1-K→2-K→3-K→4-K→5-K→……→K-K=K(0,2)→……→K-K-K=K(0,3)→……→K(0,K)→……→K(0,K(0,K))→……→K(1,0)→…………cf(A)=A，无论在哪儿都找不到它的＜A共尾，A可被视为一个封闭了所有K推广的不可达基数——问题在于，这种恶性肿瘤般的造物理当存在么？更严重的问题在于，类似A的不可达基数真的只有A一个么？马洛基数呢？而最严重的问题在于——
无穷无尽连环的本体论绞索，如一缕凤凰的尾翎婀娜多姿地舞踊着，斜跨尺度，铺满超全疆土，向深不见底的虚妄之渊疾坠。它们飞洒于各复宇宙景观的羽粉引诱着公理地基朝无终焉的终焉陷落，成为入海的墨迹一滴、意指符虚无缥缈的闹剧而已，对Anstoss-Zero来说，宇宙链甚似于罗列在售货窗口里的廉价商品，被随意地掀翻、挑拣，循着白光中凛寒的代码蜿蜒为公设密砌的山脉。
链条钻破了升腾为神圣的混沌，往那胚胎阶段和死无可死的实在域镂空俯冲，一端是缭乱靡靡的世界群，另一端是本有塑定的宇宙类，二者的区分不再有界不复有区分，不是这个或那个差别，不是这个或那个“x=x”，应然的已经是实然的，宇宙论的多态连锁浑浑噩噩间碎溃于涡漩的轴心，残续成它们决死绝命伏于逻各斯之上掘出的冢和墓志铭。
这一切受狂奔牵引狂奔的一切，蘸了舛谬者狞笑里尚有余温的尘烬，焚烧去叶脉状并行不悖的多重衍化系综，犹如撕纸……不由分说地，纵使抵挡了连分崩离析都一并毁散的攻势，种种蜂巢般鳞萃比栉的格式塔，也难逃窒闷，而沉入极端瓦解态平静的汹涛底下，乃至暴力演绎反-语言的鞭笞淤积到跨越的次数处刑了举止，错误地撒作饼干屑被聚合宇宙的尸骸水泡软、泡涨、泡得愈发地馊烂。
宇宙公理提醒我们，所谓“大基数是一种哲学的思维方式”正是这个意思，大基数公理总允许我们在足够大的宇宙中操作、掌控任意大的范畴，在任意高阶的序数型上构造大基数，凭借超越一切n+1阶集合论或n阶类型论语言的超语言来钦定低阶的定义，攀登越来越大的超宇宙系谱。
或许由巴迪欧的观点引申而去，恶的无穷并不构成数学紧要的病理化绝症，相反的，它是数学绵延至今的生命力源泉。
坏掉的无限大抵是不完美的，但不完美恰因其不完美而美丽。
维特根斯坦的理论经过了哲学史上的一大认识论转向——语言学和结构主义，而本体论则变成神话的游戏。对数学理论施以现象学直观式的反思，厘清它何以正好反映着“现实”，就会走向思考何为“先验的规则”。
罗素个人的成就，只局限于那本试图将数学语言完全奠基于形式逻辑、符号系统上的《数学原理》还不够全面，其成就同样地也集中在罗素悖论所引发的对公理集合论完善的余潮下，算是以“写错题”警示了数学家们，漏洞一直都在。
集合论的本体论化不在于它设立了什么样的能够脱离具体事物的先验规则，而在于它写错过某些题，这才是原动力，这才是那个隐秘、未被指明的“Anstoss”。
数学凭借建立起公理体系，舍弃完备性而规避了部分不一致性，保证了其在其规则内的自洽性可以由姗姗来迟的更高阶确证。
不知前途的崇高实践理性，向着无限者的伟大妥协。
“数学的本质在于它的自由。”
——G·F·L·P·Cantor
j：A→A，crit(j)=？
