这个世界，是一个无法理解的世界，世界的尽头是什么，没有人能够知道。人们知道的世界都是有限的，相比与世界人类的认知也都是有限的，世界的广阔无垠，是没有人能够探索到尽头的，所有的认为到达的尽头终究只是下一个世界的起始点，因此，世界是永无止境的，这个永无止境并不是所谓的概念，而是这个世界真正的意义，也或许是世界中存在着的事物所认为的所定义的理念。
这个世界，被创造了祂的造物主称之为“Dark Rainforest”，也就是黑暗雨林。黑暗雨林是无尽、无限且永远没有尽头的，而祂的主题就是“永无止境”，是永恒永远的没有尽头。
在黑暗雨林当中，一切“至高”、“终极”与“最大”的概念并不存在，唯有永无止境是真实存在着的。所谓的定义都是被其所定义着的，所有的一切都是定义中的定义，每一个被探索的世界都亦如此。
但是构成更大世界的世界，也是曾经无限的世界，所以几乎每一个世界，都是永恒与无限的，那么世界的构成又是什么，世界的探索者将描述世界的存在。
【星系】
我们知道，小千世界，也就是宇宙中的世界相对于高维世界是无比渺小的，但是对于生活在它环境中的生物来说它是无边无际的。世界的意义不仅在于探索，还在于孕育生命，因为有广阔无垠且永无止境的世界，所以便有数不胜数的生命，每个世界的生命都是无限的，也就是说生命构成了世界。因为生命的繁衍生息所以世界是无穷无尽的，所以探索者在探索世界的同时，也是在探索生命。生命的意义在于探索，所以世界也有着无穷无尽，因为每个生命的探索世界才能够如此壮大，壮大的世界是广阔无垠的，同时也是没有尽头的。因为生命没有尽头，所以世界也不会有尽头。
我们所存在的世界相对有限也相对无限，对我们本人来说是无限的，但对于大自然来说是绝对有限的。
一个地球的体积是1.0832073×10^12立方千米，它对于人类以及地球上的其他生物来说是相对无限的，但是对于浩瀚的星系以及更广阔无垠的宇宙来说是绝对有限的。地球实在是过于渺小，在星系中连一个基本粒子都算不上，更不要提包含所有一切的宇宙。它们都是渺小的，对于宇宙来说都是一叶扁舟罢了。
自然数是有限的，被包含在无限数当中的。一个表示什么都没有的“0”，以及比“0”更小的负数，这一些也都被包含在无限当中。任何有限数都无法与无限所相比，就是最大的有限数9999999999999999999999……………….^N也无法到达无限的无限分之一，所以有限数是绝对有限的，但无限也是真正无限的，当然无限是相对于有限而言。
一般来说，如果∞-1还是∞，那么它就是真正的无限，但是如果∞-1不再是∞，那么它便不是真正的无限。对于无限的真假，首先我们设定在在一条双曲线上，不谈论倒数的情况下，ta就假定向上，那么在一条边的情况下，x→∞，y→∞，那么在这条数轴上是否存在y触碰x呢？如果x和y不能够触碰，那么这就是假定无限，而如果它们能够触碰到，那么这就是真定无限。所以，∞^∞的无限，并不是真定无限，那么在这样下的之后的∞^∞，∞^∞^∞，∞^∞^∞^∞，……，∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^∞^…………^∞……，……∞↑↑∞，∞↑↑↑∞，∞↑↑↑↑∞……∞→∞→∞→∞……以及所有类似的表达都是假定无限。所以无限的意义不在于相乘叠加，而是真实存在的无限，这种无限便是伪无限在无限叠加叠盒子的，或许是世界的需要者为自己叠加的伪高维世界，但是因为是假定无限，所以并没有啥效果，因此真正的无限需要构造和描述。数学是可以描述无限的，所以无限在包含定义的同时也需要数学的描述。
【超空间】
阿列夫不动点
对于一个给定的函数，存在一个元素使得该元素在经过函数作用后仍然等于它自身
假设有一个函数 f：X → X，当且仅当X 是一个非空集合。我们定义一个集合 A = {x ∈ X | f(x) = x}， A 是由所有满足 f(x) = x 的元素 x 组成的集合。
第一个阿列夫不动点就是 A 中的最小元素
对于f：X → X，我们可以定义这样的一个序列 {f^n(x)}其中 n 是自然数，x 是 X 中的一个元素。这个序列表示对 x 迭代应用函数 f n 次的结果。
阿列夫不动点的极限是由所有满足以下条件的元素 x 构成的集合：
1：对于任意的 n，f^n(x) = x；
2：如果 y ∈ X 是一个不动点，即 f(y) = y，那么我们说 y 将会在序列 {f^n(x)} 中的某个位置上
不可达基数
当且仅当K为不可达基数，若|X|＜k，则P（X）＜k，若丨S丨＜k且∀X∈S，则丨∪S丨＜k，若丨X丨＜k以及f：X→k，则sup（f|X|）＜k，丨Vk丨=k=ℵk
k有一个无界闭子集：｛a＜k|a=|Va|=ℵa｝
定义：一个基数 k 是 worldly cardin al ，如果 Vk = ZFC .
我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的，但是我没有去找参考文献。我们用 WC 表示 workdly cardinal 。下面的命题是显然的。
命题1:ZFC+3 WCH Con ( ZFC + Co n ( ZFC )).
由 Godel 不完备性， ZFC + Con ( ZF C ）不能证明3WC．同样 Con ( ZFC +3 WC )也不是 ZFC + Con ( ZFC ）能证明的。
我们用 I 表示不可达基数。显然每一
个不可达基数都是 WC ，因此：
命题2:ZFC+3I3WC.
但是最小的 WC 严格小于最小的 l 。命题3：如果 k 是不可达的，则存在世界基数入＆ amp ; amp ; It ; k 。
证明：假定 k 不可达，有 Skolem 定理（及其构造方法），存在可数模型 MO ＜ Vk 以及n0& amp ; amp ; lt ; k 使得M0EVn0。一般地，对于任意 i , Mi ＜ Vk 以及 ni & amp ; amp ; lt ; k 使得 MiEVni ，存在模型 Mi +1EVni+1使得 Mi +1＜ Vk 并且 Vni CMi +1。
令入＝ Uini & amp ; amp ; lt ; k 。显然 Vi ( Mi ＜ Mi +1)。因而有模型论基本知识， U iMi ＜ Vk 。有构造，我们知道 V 入＝ UiMi 。因此 V 入＜ Vk 从而是 ZFC 的模型。因而入是 WC
由命题3，我们有以下推论：
推论3.1:ZFC+3 II Con ( ZFC +3 W
C ).
因此 WC 的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性ω。
还有人提及以下定义：
定义2：一个序数 a 是可扩的，如果存在 p & amp ; amp ; gt ; a 使得 Va ＜ VB 。
我们用 EC 表示可扩基数。显然命题
3中的入就是可扩的。并且可以构造在 k 下另外一个入'& amp ; amp ; gt ；入使得 V 入＜ V 入'＜ Vk .@ ZS Chen 在评论里提到了 Joel Hamkins 给了关于可扩基数的比较完整的描述（ The otherwordly cardinals )。其中下面这个定理澄清了 EC 的强度
定理1( Hamkins ): ECS WC ，并且每一个 EC 下面都有一个 WC 严格小于它．
注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在 EC 的协调性，但是 I EC ．例如最小的不可达基数不属于 EC。
拉姆齐基数
拉姆齐基数：拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] ＜ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；其对于每个λ ＜ κ ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数，f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又代表Kurt的可构公理的错误
超巨大基数
j:V→M，cr(j)=k并且j(k)＞λ，λ＞k，M对长度为j(λ)的序列封闭）
可测基数
集合S上的一个二值测度(a two-valued measure)μ是指一个定义在S的幂集P(S)上的函数，对于每一x∈P(S)，μ(x) =0或μ(x) = 1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素(在μ下) 的值为0，则μ(UΣ)=0。测度μ称为非不足道，如果U(S) =1，并且对于S的每一有穷子集x，μ(x)=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数
超强基数
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。AkihiroKanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
伯克利club
基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M＜M和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j＜K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y＜k。
伯克利
Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ. Berkeley 基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的j 1，j 2，j 3....j 1 : (Vκ，∈)→(Vκ,∈), j 2 :（Vκ，∈,j 1 )→(Vκ,∈，j 1 )，j 3 :(Vκ,∈，j 1 ,j 2 )→(Vκ，∈,j 1 ,j 2 )等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数λ，存在一个ZF + Berkeley 基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。
设 F : Q xQ "→[0,1］是一个 Borel 函数，满足对于任意 xEQn ，以及 y , ZEQ ,
如果 y ~ z ，则 F ( x , y )= F ( x , z )。
那么存在一个序列（ xk ) o ≤ k ≤ m ，对于所有的指标序列 s ＜ t ,＜…＜ tn ≤ m ,
有 F ( xs ,(Xt1,..., Xtn ))= Xs +10
这个定理在 ZFC + V ( n ＜ w )3k( k 是 n - Mahlo )可以被证明，但对于任意固定的 n ＜ w ，它不能在 ZFC +3k( k 是 n - Mahlo ）的任何理论中被证明。
（单就这个式子来看，QxQ^n是有理数集和n元自然数集到有理数集上映射的集合的笛卡尔积）
ω_1^ck对应ω_1
OCF的折叠中Ω也可以是ω_1
Ω_α的容许点是I，递归不可达序数
也就是α＞Ω_α的容许点。
第二个容许点是I(2)对应第4个不可达基数。
I(1)对应第3个不可达基数
α＞Ι(α)的容许点是I(1,0)也许对应2-不可达基数
M是马洛序数
K是弱紧致序数对应弱紧致基数
【V=终极L】
见证 ω - 武丁基数的那个核心模型被指控使用了力迫，因而不是典范的(canonical inner model)。
见证武丁基数的武丁极限的那个核心模型同样被指控使用了力迫，并且原文是：
We extend the construction of Mitchell and Steel (Fine Structure and Iteration Trees, Lecture Notes in Logic, vol. 3, Springer, Berlin, 1994) to produce iterable 5ne structure models which may contain Woodin limits of Woodin cardinals, and more. The precise level reached is that of a cardinal which is both a Woodin cardinal and a limit of cardinals strong past it.
也就是其实比武丁基数的武丁极限要强得多（是强极限），然而很多论文都只引用前者……
这包含了以下条款：
0. 见证 a 是武丁基数
见证 a 是武丁基数并是一个对全体武丁基数之极限
见证 a 是武丁基数并是一个对满足(1)的全体基数之极限
...
γ. 见证 a 是武丁基数并是一个对满足 (＜γ) 的全体基数之极限
...
a. 见证 a 是武丁基数并是一个满足一切 (γ＜λ) 的全体 λ 基数之极限
另一方面该内模型见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证 ◻a 对一切基数 a 成立
而
如果某个内模型见证一个基数 a 是 Π12 - 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)成立并破坏 ◻a。
如果某个内模型见证PFA成立(proper forcing axiom)也见证 Π12 - 亚紧致基数。
因而该内模型确实仅略低于并明确低于亚紧致基数，并且是内模型计划关于PFA这个子目标的最好结果。
【冯·诺依曼宇宙V】
起初，无穷公理断言了 V 中存在下列冯诺依曼序数
?{} ：被当做 0，因为没有东西∈{}
?{{}}：被当做1，因为只有0∈{0}，1也仅大于0
?{{}，{{}}}：被当做2，因为只有0,1∈{0,1}，2也仅大于0和1
?{{}，{{}}，{{},{{}}}}：被当做3，因为只有0,1,2∈{0,1,2}，3也仅大于0和1和2
?可以看出，被称作冯诺依曼序数的集合，是在以∈关系模拟数字之间的＜关系，n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数ω，ω+1也能很自然的得到——怎么得到？
?有了 0,1,2,3,……,ω 之后，V 中的东西都可以通过五种简单操作/构造得到
?零、外延公理：对任意x和y，x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集，即 x 的元素都是 y 的元素，并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说，{1,1}={1}，表达了任何对象都是唯一的。
?一、对集公理：任取x和y，都会存在 {x,y}。这里需要注意的是，{x,y}={y,x}，这里x和y是没有先后次序，而我们想要x和y次序区别可以这样做，{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理，若所取的x,z相等，则可得{x,z}={x}，这样对于存在 {x}和y，就可以再由对集公理得到 {{x},y}，这样的集合也被称作有序对，记作 ＜x,y＞。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’，因为 f(x)=y 这件事可以用 ＜x,y＞ 表示，简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域，y 构成的集合被称作 f 的值域。
?二、并集公理：对任意x，都存在y，使得对于每个z∈x，z的元素都是y的元素，y就是由x的元素的元素构成的集合，记作∪x=y。初学者容易搞错的一点是，{1,2}包含了1，1又包含了0，但0并不是{1,2}的元素。比如 {אn：n∈ω}这个由阿列夫n构成的集合只含有ω个元素，只有通过并集公理，你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。
?三、幂集公理：对任意x，都存在y，使得对任意z，若 z 的元素都是 x 的元素，则 z∈y。
?四、选择公理：对任意x，x≠{}并且{}∉x 蕴含存在 f，使得对任意y∈x，都存在＜y,z＞，＜y,z＞∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事：对任意x中的元素y，你都能将y中的一个元素挑出来，哪怕x是无穷集。
?而其更加直观的含义是：每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用
?五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。
?五代替不了幂集公理，因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理，在你刚得到 {אn：n∈ω} 的情况下，任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于，现存的所有序数都在阿列夫ω中，你要得到它就需要用阿列夫ω本身，并集公理却可以让你根据 {אn：n∈ω} 就能得到阿列夫ω。
?以 0,1,2,3,……,ω 为起点，V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。
?集合论宇宙就是这么简单。
要得到 ω+1 ={0,1,2,3,……,ω}，并不能直接运用【五】说 ω+1 个元素即 0,1,2,3,……,ω 构成一个集合，此时 ω+1 还不存在。
而是利用对集公理，先得到 {ω}，再得到 {ω，{ω}}，然后用并集公理就是 ω+1 了。以此类推。
五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。这里的a个集合严格的说是一个由集合构成的a长的序列。序列在集宇宙中就是一个以序数为定义域的双射函数，我们可以很自然的从中获取值域中的集合有被良好排序这一信息。
比如 f(0)=毛毛虫，f(1)=星星，f(2)=铅笔，f(3)=乞丐，…… f 就像是为这些乱七八糟的事物标上了序号一样，形成一种排序。我们也可以用这种方式重新定义有序对，甚至推广。
通常用 ＜S_b：b∈a＞ 表示一个 a 长的序列： S_0，S_1，……
关系在 V 中也是一个具体的集合。比如自然数集上的＜关系，就是 ω 上的一个二元关系，ω×ω 的一个子集。为什么这样说呢？
首先，此处的 ω×ω 不是序数运算，而是笛卡尔积，之所以这样叫是因为这个集合的元素都是形如 ＜n,m＞ 的有序对，其中n和m都是自然数，像极了笛卡尔坐标。X×Y 即 X 和 Y 的元素所有可能的两两(有序)配对。
ω×ω 的一个子集：
{ ＜0,1＞ ，＜0,2＞ ，＜0,3＞ ，……
＜1,2＞ ，＜1,3＞ ，＜1,4＞ ，……
＜2,3＞ ，＜2,4＞ ，＜2,5＞ ，……
……} 就表达了自然数之间的＜关系，因为 2＜5，所以 ＜2,5＞ 在其中。因为不存在 5＜2，所以＜5,2＞不在其中，就这么简单直观。
而＜关系还是 ω 上的一个良序关系，即可以将 ω 中的元素排成有起点的一列：0,1,2,3,……，而这个序列的长度是 ω ，则称 (ω,＜) 的序型是 ω 。表示 ω 依照 ＜ 形成的结构是一个长度为 ω 的序列。
自然，ω 上还存在其它良序关系，比如可以排成 1,2,3,……,0；长度为 ω+1，因为其中的0排在ω个元素之后。
亦或者将奇数放在前面，偶数放在后面，就形成了一个 ω+ω 长的序列。
如此，对 ω×ω 取幂集，就可以得到 ω 上的所有二元关系，因为选择公理 P(ω×ω) 有基数 a，就可以利用【五】得到 P(ω×ω) 的一个子集，即 ω 上所有良序关系，从而得到 (ω,E) 的集合，它们的序型都是可数序数。再用【五】来得到所有可数序数的集合，即最小的不可数序数——阿列夫1。
因为对任意整数 z，我们都可以取两个自然数 n,m，使得 n-m=z，比如负数 -2=7-9，我们就可以适当的定义一个 ω×ω 的一个子集 Z 和其上的关系，以至于能够模拟整数域。
而因为任意有理数都可以表示为两个整数之比，即 a/b，我们也可以适当的定义 Z×Z 的一个子集 Q 和其上的关系，以至于能够模拟有理数域。
引用戴德金分割，我们也可以适当的定义 P(Q)×P(Q) 的一个子集 R 和其上的关系，以至于能够模拟实数域。
而这之后的复数，因为可以简单的用 ＜a,b＞ 表示 a+bi ，我们就可以适当的定义 R×R 的一个子集和其上的关系，以至于能够模拟复数域。
主流数学的大厦就这样建成了。
P(ω) 会包含 ω 的所有子集，其中就包括了对任意 n 都有的{n}
P(P(ω)) 会包含 P(ω) 的所有子集，其中可以有 P(ω) 中元素 n,{m} 的集合，＜n,m＞
P(P(P(ω))) 会包含 P(P(ω)) 的所有子集，即那些 P(P(ω)) 中元素构成的集合，如 ＜n,m＞ 的集合，ω 上的二元关系，整数在此处显现。
以此类推，Q 就会在 ω 的 6 次取幂 P(P(P(P(P(P(ω)))))) 中存在。
而作为 P(Q) 的二元关系，实数域则会在 ω 的 10 次取幂中显现。
利用【五】得到 P(ω),P(P(ω)),P(P(P(ω))),…… 这样一个 ω 长的序列，再用并集公理得到的就是被称作【超结构】的囊括全体主流数学和物理宇宙的大全。
而这仅仅只是 V 显露的开始。
冯诺依曼宇宙可以说是一切宇宙的模板，它可以定义为一个层谱结构：
V_0 := {}
V_a+1 := P(V_a) ——V_a的幂集
由取幂依赖于前一个集合，所以对于极限序数a 并不能直接定义 V_a，比如 V_ω 不会是哪个集合的幂集，因为不存在 n+1=ω 。所以在极限序数处我们要修改定义
V_a := ∪{V_b：b∈a}，而这一并集也就直观上取了无限次幂集的内容。
最终 V := ∪{V_a：a∈绝对无限}
哥德尔宇宙与此类似
L_0 := {}
L_a+1 := D(L_a) ——L_a 在现阶段（在L_a+1构造出来之前，现有的大全就是L_a）使用参数可定义的子集的集合。因为公式只有可数个，而可引用的参数也只有 L_a 的基数个，所以并不会像 V_a+1 一样添加超越当前基数个的集合进来。但每一层构造都也因此是清晰明了的。
在极限序数的阶段同样
L_a := ∪{L_b：b∈a}，以及 L := ∪{L_a：a∈绝对无限}
PS:一个集合或真类 S 是可定义的意思是，存在一个公式 φ(x)，使得 φ(x) 成立的 a 即 φ(a) 为真的 a 构成的集合或真类=S。比如绝对无限的定义就是 “x 是序数”，使得该公式成立的集合构成的类正是所有序数的类。所以 a 会首次出现在 L_a+1 中，a 也是相对于 L_a 的绝对无限。
此外还有两种扩张版本
L(X) 就是将 L(X)_0 这个初始步骤改成集合 X 得到的。尽管 L(X)_0 之后的每层的结构都很清晰，但如果 X 本身就不清晰的话，那后续其实也是不完全清晰的。
而使用更多的
L[X] 则是修改 D(L_a) 这一步，D_X(L_a) 就是将 X∩L_a（X 和 L_a 的交集作为参数） 加入公式后可定义的子集的集合。
集合作为参数的效果往往相当于加了一个 “x 是……” 的“词汇”，比如 n∈ω 就表达了“n是自然数”这件事。在 X 是无法定义的情况下，以 X 为参数就是很有价值的。而取交集就导致了 L[X] 比 L(X) 更清晰，因为 X∩L_a 中的元素都还是 L_a 的元素。
至于终极L没了解过不懂。不只是现在没有定义式，而是现有的尝试方法是咋样的都不清楚。
关于为什么 V 是不清晰的
L_a 的构造是完全符合我们理解中的凭现有的集合来构造新的集合，如此积累，直至绝对无限，成型。每一步尽在把握。
但 V 的构造中，取幂集这一步，就是直接取了所有子集，包括了未来我们会认知构造的子集，也就是说宇宙已经成型了，然后取其中的 X 的所有子集来构成集合，这就存在一种跳跃。哪怕 V 中混杂了什么不在 L 中的集合，就像 L(X) 那样，我们也是不知道的，无法证明无法证伪。
尽管上述公理以 0,1,2,3,……,ω 为起点构造出来的集合都在 L 中——0,1,2,3,……,ω∈L并且上述公理也在L中成立
但显然也有 0,1,2,3,……,ω∈L(X) 并且上述公理也在 L(X) 中成立
若取 X∉L，并假设会导致 L 满足命题 “对于所有x，都有……” ，而 L(X) 却因为 X 是该命题的反例（类似于塞了一只白乌鸦到世界里去，成为了天下乌鸦一般黑的反例），导致“对于所有x，都有……” 在 L(X) 中为假
在这种情况下，若上述公理可以证明或证伪这个命题，就都会在另一个宇宙中产生矛盾。所以如果一致，就不能证明或证伪这个命题。
【ZFC 公理宇宙】
1．不可达基数
可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。
不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若 k 是正则基数，则不存在小于 k 个小于 k 的集组之并的基数为 k ，或者说不存在小于 k 个严格递增的序列，其极限为 k 。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数 k ，存在小于 k 的严格递增的序列的极限为 k ,则 k 为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是 cf ( k )= k ，奇异基数就是 cf ( k )& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .
不可达基数 k 就是对任意小于 k 的基数，取幂集的基数仍然小于 k 并且由任意小于 k 个小于 k 的集组之并的基数仍然小于 k 。而对比弱不可达基数只要满足＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基数的后继仍然＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
举个例子： cf (1)=1, cf （任意有限数）=1, cf ( w )= w , cf ( w _1)= w _1（不存在长度是 w 的序列，因为小于 w _1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是 w _1)。 cf ( W _ w )= w （长度 w 的序列取 w , w _1, w _
2,w3,......)。
对于极限序数，有 cf ( a )= cf ( w _ a ),所以对于不可达基数 k , k = w _ k ，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说 a 是任意的基数，然后设序数列 w _ a , w _( w _ a ),.....．设 k 是它们的确界，很显然容易证明 k = w _ k ，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是 w 。
好了。以下基数的性质。
0，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。 w ，可数，正规，强极限。 w _
1，不可数，正规，后继。 w _2，不可数，正规，后继。 w _ w ，不可数，非正规，极限。 w _( w +1)，不可数，正规，后继。 w _( w _1)，不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。
很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于 w 的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从0到阿列夫零是一样的。
有了替代公理模式，你可以构造类似 omega - fixed - point ={ xEwlf (0)= w , f ( x )= w _ f ( x -1)｝的集合，通过更大的 f 就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其 xE 的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )= k 的条件。因此不可能抵达不可达基数。
不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（ a +1)& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;=2^阿列夫 a ，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（ xE (& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x )& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合，使得其上确界为 k 。
还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数）,哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。
你取到 k 之后，那么 k 和2^ k 都是正则的大基数，继续对 k 替代公理模式以及对 k 取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。
2．马洛基数
一个无穷基数 k 是马洛基数（ Mahlo cardinal ）当且仅当 k 是一个不可达基数并且是“正则基数”。
{ A & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正则基数｝是 k 上的平稳集［1]。如果 k 是马洛基数，则是“不可达基数”。
{1& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，因此 k 是第 k 个不可达基数。
为了得到以上结论，我们来证明如果 K 是任何不可达基数，则是“强极限基数”
C :={\& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是强极限基数｝是 k 上的无界闭集。先来证明闭性：
假设基数入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 是 C 的极限点，即入＝ sup ( C ∩入），则对任何μ& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入有强极限基数 yECN 入使得μ& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，从而2μ& amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; y & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，从而入是一个强极限基数，故入 EC ,从而 C 是闭的。
无界性：任取序数 a & amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; k ，因为 k 的强极限性质，可以做以下基数序列（ yn & amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; klnEw ):
a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt :y0, y 1=2y0,..., yn +1=2yn,...
并取 y = supnEwyn ，因为 k & amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; w 是正则的，所以 y & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 而且显然 a & a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 。可以证明 v 是强极限的：任取μ& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; y ，则按照定义存在 nEw 使得μ& a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yn ，从而2μs2y n = yn +1& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，于是 yEC 。这样 C 就是无界的。
现假设 k 是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。
X :={\& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是正则的｝是 k 上的平稳集。按照定义， XNC 也将是 k 上的平稳集，而为“不可达基数”。
XNC ={\& amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入为不可达基数｝。因为 k 上的平稳集总是在 k 中无界，故 XNC 的基数也将是 k ，也即 k 是第 k 个不可达基数。
为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：
命题1：如果是第一个不可达基数
K = min （入入是第入个不可达基数｝，则 k 不是马洛基数。
命题2:如果 k 是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是第入个不可达基数｝在 k 中无界。
先证明命题1：按照定义，任何小于 k 的不可达基数 y 都是第 a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。现在定义是不可达基数：
X :={ y & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a
mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly 是不可达基数｝上的函数 f : X →→ k 使得 f ( y )= a ，其中 a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，且 y 是第 a 个不可达基数。从而 f 是 x 上的退缩函数。如果 k 是马洛基数，按照上一个证明， X 将成为 k 上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个 k 上的平稳集 SCX 和某个 B 使得任何 yES 有 f ( y )= B ，即任何 yES 是第 B 个不可达基数。但我们知道第 B 个不可达基数只有一个，这与 S 是平稳集矛盾。
命题2:假设是第入个不可达基数：
T :={\& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是第入个不可达基数｝在 k 中有界，即 su pT & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。令 a = su pT ，则集合 C ={ B & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k |β& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; a ｝是 k 上的无界闭集。因为 k 是马洛基数，所以
是不可达基数。
X ={\& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，按定义 XNC 也是 k 上的平稳集。而 XNC 是 k 中所有大于 a 的不可达基数的集合。而且每个不可达基数 yEXNC , y 不可能是第 v 个不可达基数，从而 v 只可能是第 E & ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集 XNC 上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。
3不可描述基数
不可描述基数是对 V 的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将 V 具有的不可描述性移植到作为集合的 Vk 上。对于作为大全的 V 我们不是很方便谈论，但 Vk 可以。称 k （实际也是 V K ）是∑ nm ﹣可描述的，在于存在一则∑ n m ﹣命题中，使得 p 仅在 Vk 中为真，即不存在 a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得中也会在 Va 中为真。换言之，满足中这一描述的仅为 Vk ，中是 Vk 独有的描述，故构成对 Vk 的本质描述。反之，称 k 是∑ nm ﹣不可描述的，在于对任意∑ n m ﹣命题中， Vk 满足中就意味着存在 a & a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k , Va 也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述 Vk 。而" k 是∑ nm ﹣不可描述的"或" K 是 Nnm ﹣不可描述的"是则∑ n +1m﹣命题或 Nn +1m﹣命题，你的想法是对的，只是" k 是一阶不可描述"这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，"任意命题都无法描述"不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。
4．弱紧致基数
对于一阶逻辑语言的扩张 L 入 u ，即对任意 a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入，允许语句的 a 次合取^ E & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; apa 和或取 VE & amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; a ゆ a 仍作为一个语句；以及对任意 B & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt : u ,允许语句中出现 B 次存在量词＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; BxE 和全称量词 VE & a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; BxE ；若 Lkk 的字母表仅含有 k 个非逻辑符号，并且 Lkk 的子集（语句集） T 存在模型（一致）当且仅当 T 的每个基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑都存在模型（一致），则称 k 是弱紧致基数。
对于不可数的弱紧致基数 k 可以证明：
k 是正则基数
假设 k 是奇异基数，取 k 的无界子集 x 有| x |& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，在字母表中添加常元符号（ ca : a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ; k } U { c }
定义语句集 T ={ c ≠ ca : a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k } U { VAEXVa & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; Ac = ca }
其中 V 入 EXVa & amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; lt ；入 c = ca 是由 x |个形如 Va & amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ；入 c = ca 的语句或取而成的，由于| X |& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; K ，这是一个合法语句但却遍历了每个 c a ，或取命题的成立只需要其中一项为真即可，对于 T 基数＆ amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的含该语句的子集∑，其中都只会含有个 c ≠ ca ，由 x 在 k 中无界，必然存在国＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y , Va & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yc = ca 就可为真与其余语句一致，但必与 T 的其余语句矛盾。
2.k是极限基数
假设 k 是后继基数，则存在入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得2入≥ K 。
在字母表中添加常元符号｛ ca : a & a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入｝ U {da0:a& am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; t ;사} U {da1:a& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ;)}
并定义语句集
T ={^ d & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入[( ca =da0Vca=da0)Ada0≠da1]} U { pf :fE21}
其中∧ a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; X [( ca =da0Vca=da0) A da0≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的01序列 f *，中 f 则是使用 f 定义的形如 Va & amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ;\ ca * daf ( a ）的语句，其为真就意味着必有一项 ca 不同于 f 在 a 处的得值，即 f *≠ f 。显然， T 是不一致的。但对于 T 的基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑，由于区＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k & amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; ITI ，从而总能存在gE2入但中 g ≠∑,令 f *= g 即可满足
3.k是巨大马洛基数
已知 k 是不可达基数，故| Vkl = k ，对任一 UCVk ，扩充语言 Lkku ，其中含有谓词符号 u ( x ）被解释为 U ，再在其字母表中添加常元符号 c ，定义语句集 T ={ p ELKKu :( VK , E , U )=ф} U {ф a ( x ) Ax & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; c : o & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k }，其中中 a ( x ）是对序数 a 的定义，即对任意 a & amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 均有（ Vk , E )=ゆ a ( a )。由于 T基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的子集∑都以（ Vk , E , U ）为模型，故 T 也存在模型（ M , E , U *)。由于（ Vk , E )=-3 n & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; wxn ( xn +1 Exn ), E 是 M 上的良基关系，由坍塌定理可得（ M , E , U *）又由于 Vk 的每个元素均可定义，{ oELkku :( Vk , E , U )= o ｝作为一个完备理论被（ M , E , U *）满足，就存在（ Vk , E , U ）到（ M , E , U *)的初等嵌入使得（ VK , E , U ）是（ M , E , U *）的初等子模型。
设 U 为无界闭集，由于 UCU *，根据定义 sup ( UN k )= K 可得 KEU *，而（ M , E , U *)= u ( k ）蕴含（ M , E , U *)=3хф(х)л u (х)( V к,е, U )=3хф(х)л u ( x )，其中中（ x ）为一可由某一（ M , E , U *)见证的 k 所具有的性质。
4.k是门11﹣不可描述基数
由3．可知对任﹣ UCVk ，均存在初等嵌入使得（ Vk , E , U ）是（ M , E , U *)的初等子模型，扩充语言 Lkku 中的语句等价于以 U 为参数的语句，而 Vk 上的N11语句等价于 Vk +1上的N10语句，形如 VXEVK +1p( X ) Vk ，其中 p ( X ) Vk 是量词辖域为 Vk 的一阶语句，其成立取决于 Vk 和 U 中是否存在这样或那样的元素，由于 VkCM , Vk = VkM ,, p ( X ) VK ( M , E , U *)= o ( X ) Vk 。又由于 Vk +
1MCVk+1，假设 VXEVk +1p( X ) Vk 但( M , E , U *)=- VXEVk +1p( X ) Vk 即（ M , E , U *)=3XEVk+1- p ( X ) Vk 就与假设矛盾。故对于 Vk 上的N11语句中中 M ，并且若（ Vk , E , U )＝中则（ M , E , U *）满足存在 a ,( Va , E , VaNU *)=中，( Vk , E , U ）就也满足存在 a ,( V a , E , VaNU *)=ф.
5．可测基数
问题：一个不可数基数 k 是可测基数（ measurable cardinal ）当且仅当 k 上存在 k ﹣完全的非主超滤。证明任何可测基数都是不可达基数（ inaccessible c ardinal )，即，都是正则且强极限的。
首先证明正则性。若 k 是奇异的，即 cf ( k )& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。则可以取一个 k 的递增的共尾序列（ ay & amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly & amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ))，使
supy & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay = Uy & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) a y = K
取 k 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U ，则 U 是均匀超滤，从而每个 ayEU ,即 k - ayEU ，于是：
UDny & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k )( k - ay )= k - Uy & am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay =0
这与 U 的滤子的定义产生了矛盾。再来证明强极限。也即证明任何入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ，有2入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。现用反证法，反设存在某个入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 使得2入 zk 。那么可以取2入＝{ flf ：入→＞2｝的一个子集 S 使得| SI = K 。并且按题意可以取 S 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U 。现在对于每个 a & amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，如果 Oa :={ fES | f ( a )=0} EU ，则令 X a = Oa , ca =0；否则，我们有 la :={ fES f ( a )=1} EU ，这时我们令 Xa = la ，且 sa =1。现在，我们定义了 U 上的一个长度为入的序列＜ XaEUla & amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入＞，因为 U 是 k ﹣完全的，所以 Na & amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\ XaEU ，但是，我们可以证明∩ a & amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入 Xa 中最多只有一个元素，因为任何 fENa & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;) Xa ，都有 f ( a )= ea , Va & amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入。这样∩ a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入 Xa ∈ U ，这就引出了一对矛盾。
后话：看到有人不太理解强极限的证明。其实我们的目的很简单，就是希望对每个 a & amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ；入，定义一个集合 XaE U ，和一个数 eaE {0,1}。而它们的值究竟什么，则取于｛ fES | f ( a )=0｝和｛ f ∈ s | f ( a )=1｝哪一个属于 U ，如果前者属于 U ，则定义 Xa ={ fES | f ( a )=0}，且 ea =0；如果后者属于 U ，则定义 Xa ={ fES f ( a )=1}，且 sa =1。因为 U 是超滤，可知这种定义是合理的。
强紧致基数
当且仅当每个 k ﹣完全滤波器都可以扩展为 k ﹣完全超滤器时，基数 k 是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数 k 的逻辑是通过要求每个运算符的操作数量小于 k 来定义的；那么 k 是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于 k 的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与 ZFC 一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
强可展开基数
形式上，基数 k 是入不可折叠的，当且仅当对于 ZFC 负幂集的每个基数 k 的传递模型 M ，使得 k 在 M 中并且 M 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个将 M 的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数入都是入可展开的。
基数 K 是强入不可折叠的，当且仅当对于 ZFC 负幂集的每个基数 k 的传递模型 M 使得 K 在 M 中并且 M 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个非﹣将 M 的 j 简单基本嵌入到传递模型" N "中，其中 j 的临界点为 k , j ( k )≥入，并且 V （入）是 N 的子集。不失一般性，我们也可以要求 N 包含其所有长度为入的序列。
——
【脱殊复宇宙】
定义1.
令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊多宇宙VM为满足以下条件的最小模型类:
1.M∈VM;
2.如果N∈VM，而N'=N[G]是N的脱殊扩张，则N'∈VM;
3.如果N∈VM，而N=N'[G]是N'的脱殊扩张，则N'∈VM。
简单说，VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。
定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是M-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在VM的每个模型中都真，记作VM=σ;
σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅当VMF7σ;
.σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。
特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V=σ。，
脱殊扩张:力迫法
统假设的否定的一一致性，即
(222)
ZFC-Com(ZFC)→Com(ZFC+-CH).
与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同，力迫法所构造的模型M[GI是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。
假设ZFC一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。就存在一个zFC的集合模型。再由定理2.35.及Motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(grond moder).，
元素称作条件(onditon).对ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小.我们称条件p比η强;若p⊥小.即不存在r∈P满足r≤ρ且r≤小.则称条件ρ与q不相容或不能同真。
定义2.2.0假设P是偏序我们称DSP是網密的(demwe).当且仅当对任意ρ∈P，存在η∈D满足η≤p
给定pEP.我们说DSP在p之下铜密。当且仅当DNPIp是PIr的稠密F集，其中PIp={q∈P|qs小.
定义2.2.7假设P是偏序，我们称FCP是偏序P上的滤，当且仅当() PP.
(2)若p∈F且p<y.则η∈F.
定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤.我们称P上
我们一般要求力迫法的原模型 M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。假文(D1<N是M中所有所有D.都是稠密的，所以p总能够取到。令G={v∈P|3i<n(ws小}.容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。因此，可数
当且仅当() PP.
(2)若p∈F且p＜y.则η∈F.
定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤.我们称P上
我们一般要求力迫法的原模型 M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。假文(D1＜N是M中所有所有D.都是稠密的，所以p总能够取到。令G={v∈P|3i＜n(ws小}.容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上:总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序P没有任何额外要求。但在力迫法的实际运用中，偏序集P椰满足如下性质，
(22)
对任意p∈P，存在qsp.rSμ满足q⊥r.
定理2.2.9 P∈M1是偏序。P满足(223).当且仪当任意P上脱殊
因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈M.又根据定理2.16.由此生成的脱殊模型MI(C]= M，将没有意义。我们称之为平凡力迫。他的世界，而这种在M中的人们看来可能的世界。在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MI(G].我们定义M中人们用来指称MI(C)中对象的专名(但名)的集合M“:
定义2.2.10 r是P名，当且仅当+是关系，且对任意(.D)∈T，π是只名且ρ∈P.
注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。
定义22.11τ是P名， G:是脱殊滤.✧
={t°1(Br∈()(，1E小
定义脱殊扩张
MIG(={r°IreMr).
注意，r的定义也是递归的。
我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。
定义2.2.12对任意工。定义*=(0.川|vex，p∈P}.
显然，对任意到，主是P名。通过归纳，容易证明，g=x因此M≤我们定义脱殊滤的典范名:
定义2.2.18 G=(.川)1pe则)
注意， C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈M. G是M中的人们用来指称G的名字，但生活在M中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:
WWw. cr-Geion.com因而，在非平凡的情况下，我们期望NS M(q).
最后，我们定义力迫语言的语义。即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系().
定义22川)()μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η一η当且仅当ρlηSηHplηζη.
l在》之下稠密当集合{0≤p 30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)pHρ入ψ.当且仅当pHp且pe.
(3)plHψ.当且仅当对任意ηSp井非q14.
()pFarp()，当且仅当集合{veP|3(r是P名(4())在ρ之下
上建定文中，()中的(n).()是基于办刀所属阶层的遭归定义.该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。在M下是绝对的。而整个定义。即()-(v)，.应被视为基于公式复尔度的通的定义。注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为 MN中的人“所掌握的关于M(C]的一般知识的体系。即如果p力迫φ.那么无论MI(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则ρ也真(sM().这正是下述定理所表达的
定理2.2.15 M是ZFC的可数传递模型，P是N中偏序，G是P上(相对于M)的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张M|GI，给定公式.......(所有自由变元已列出)和....则
.....当且仪当和e G(n4......由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。
定理2.2.16 (脱殊扩张基本定理) M是ZFC的可数传通模型，P是M中偏序，G题P上(相对于M)的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张MICI，满足:(1) MIG]见ZFC的传通模型。
(2) MS MI(G] lGe M(]:
(3) M[G]是满足(1).(2)的最小极型。
品然，脱殊扩张sM(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计M中的偏序P来逐步迫近那个无法在M中存在的脱殊池G.使得生成的G见证了M(G]满足我们所希望的性质。
脱殊复公式为： T =(2G/c^2)*(M/R)其中，T表示脱殊时间，G表示引力常数，c表示光速，M表示宇宙质量，R表示宇宙半径。
——
【复复宇宙】
三阶集合实在论
5.2.2 复复宇宙公理
正如我在第106页的注释中提到的.虽然在Hamkins的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复宇宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论.显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的.推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法，我们也可以宣称并没有一个绝对的复宇宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题.这些复宇宙之间又具有一定的关系.当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系、集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，即复复宇宙中存在着哪些对象.
定义5.2.9(复复宇宙公理) 存在一个复宇宙，并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙.
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙.
类似定理5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的.
引理5.2.10 令N是ZFC+Con(ZFC)的模型.则N中的复宇宙M⁰从
外面看仍然是一个复宇宙，即
¹¹¹⁰⁰⁰
M¹=(m¹,E¹)|N=(m⁰,E⁰)∈M⁰
是一个复宇宙.
证明 (1)可数化公理，给定
¹¹¹
(m¹,E¹)∈M¹.
由N中的可数化公理，存在n⁰. F⁰∈N,有
Ni(n0,F0)∈M0∧F(n0,F0)≠m0
是可数的 ⁷.
由定义,(n¹,F¹)∈M¹;由(5.2.1),(n¹,F¹)=m ⁰ 是可数的.由注5.2.2，我们说m¹是n¹中的一个可数集合.
类似地，我们也有(2)伪良基公理.
(3)可实现公理，给定
¹¹¹、¹
(m¹,E¹)∈M¹、a∈m¹
以及公式φ(v₁,v₂).由N中的可实现公理，存在n⁰∈N，使得
N=n°={x∈m³|(m ⁹,E⁰)=φ[x,a]}
∧(n⁰,E⁰)∈M ⁰
∧T(m0,E0)=T(n0,E0)=ZFC−T.
所以，我们有
(n1,E1)∈M1;
并且对任意x∈m¹⊆N,
x∈n2⟺N=x∈n0
( 5.2.2)
⟺N=r(m0,E0)|=φ[x,a]−
⟺(m1,E1)=φ[x,a]
可得 n¹ = {x ∈ m¹ | (m¹,E¹)|=φ[x,a]} 是模型m³中参数可定义的类：又由(
¹¹ʳ⁰⁰⁷
5.2.1),(m¹,E¹)=ʳ(n⁰,E⁰)=ZFC⁷,
因此我们说(m¹,E¹)认为(n³,E¹)是一个ZFC模型.
(4)力迫扩张公理，给定模型 m³∈M¹, 公式φ和参数a∈m³,φ(x,a)在m³中定义了一个偏序P¹，由N中的力迫扩张公理，存在N中的n⁰.G°，使得
N=n⁰∈M⁰∧G⁰是P⁰上的m⁰脱殊滤 ∧n⁹=m³[G ⁰]
首先，我们有： n¹∈M¹.
其次，我们希望 G¹={x∈N|N|x∈G⁰}是P¹上的m¹脱殊滤.容易证明，G¹是P¹上的滤，现任给D⁰∈m¹，使得 D¹= {x ∈m¹ |
m¹=x∈D⁹}是P¹的稠密子集.则m¹=D⁰是P⁰上的稠密子集.因而 N=ρm⁰|=D ⁰ 是P⁰上的稠密子集⁷，由于N认为G°脱殊，故
N=D1N=
¹⁰ᵃ⁰
x∈m¹|m⁰≠x∈Dᵃ∩G⁰≠0.
即存在
⁰
x∈N,N=x∈G⁰
且NE
[m0]=x∈D0−7
(即m¹|=x∈D⁰). 因此 G'∩D¹≠0.
最后，我们证明 n²=m²[G¹].由定理2.2.16,我们只需证明m³⊆n³,G⁰∈n¹,并且n³所有元素,都是从G⁰和m¹中参数可定义的. m³⊆n²、G⁰∈n³, 由 N=m ⁰⊆n ⁰ 及NFG°∈n ⁰ 可得,现任给x∈n³, 即 N = x ∈ n ⁰. 由
⁰⁰⁰
N=n⁰=m⁰[G⁰],
存在公式v及参数b∈m¹使得
ʳ⁰⁰⁻
N=ʳn⁰=∃y(ψ(y,b,G⁰)∧x=y)⁻.
因而 n³ |=∃!y(v(y,b,G ⁹) ∧x=y).
(5)嵌入回溯公理.给定模型
m11∈M1,
公式φ1.42和参数
a,b∈m12,
假设
m1l
认为:“j₁(其中
j11={x∈m11|m11|=φ1[x,a]}
是从自身到模型
m20={x∈
m11|m11|=φ2[x,b]}
的∑o初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为v[a，b].则
m11=∀[a,b],
由(5.2.1),
N|F|Tm10|=ψ[a,b]−1.
再由注5.2.3,N认为j₁确实是初等嵌入，由N中的回溯嵌入公理，存在N中
m00
以及参数a₀,b₀,使得
N=m00∈M0∧a0,b0∈m00∧rm00=ψ[a0,b0]−1
∧j00(a0)=a∧j00(b0)=b∧m10={x∈m00|m00+φ2[x,b0]}
其中，j₀是模型
m0θ
中由公式φ1和参数a₀定义的.
我们有，
m01∈M1;
类似(5.2.2),
m11={x∈m01|m01|≡φ2[x,b0]},
是模型
m01
中参数定义的类：在
m01
看来，
j01={x∈m01|m01|=φ1[x,a0]}
是从自身到
m12
的初等嵌入，即
m01=ψ[a0,b0];
并且 j₀(a₀)=a. j₀(b₀)=b,从
而
j01(j01)=j11.
定理5.2.11(主定理) 假设存在一个不可达基数k.令
M=CCSMNR(ZFC+
Con(ZFC))是
VK
中所有可数的可计算饱和的ZFC+Con(ZFC)模型组成的集合. 则
M.M={CCSMN(ZFC)|N∈M}.
是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理.
证明 首先，由于k是不可达基数，那么Vn是ZFC的模型，由向下的Löwenheim-Skolem定理,存在一个ZFC的可数模型(ω. R).显然,该模型也在
₆
V₆
中,因此,Vₓ也是ZFC+Con(ZFC)的模型,类似地,我们可以迭代任意有穷次，如
ₙ
Vₙ=ZFC+Con(ZFC+Con(ZFC)).
又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112])，∥非空.
对任意N∈,∥,N是ZFC+Con(ZFC)的模型.由定理
5.2.5,CCSMN(ZFC)
的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在N看来
CCSMN(ZFC)
中的模型都是非良基的，由引理5.2.10，从外面看，
CCSMN(ZFC)
也确实是复宇宙.
现在我们只需要证明存在一个. M. M中的一个复宇宙，而N是其中的一个元素.
对任意
N∈M,Vn=ΓN=ZFC+Th(N)T.
因而，
TN=ZFC+{Con(ZFC+
Γ)|Γ是Th(N)的有穷子集}是一致的.由之前的分析，
Vn|=Con(TN).
在Vₐ中应用引理5.2.8，存在M∈. M，在M看来N是一个可数的可计算饱和的ZFC模型，即N是复宇宙
CCSMM(ZFC)
中的元素.
从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到，ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系.虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数.但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理，更进一步，我们可以期望有任意n阶甚至o阶的复宇宙公理，它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构.
事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙之间的关系，与哥德尔的“之集合”(set of)运算的直观都非常接近.复宇宙是
来合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合.而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复字宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙，无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与ZFC中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的.如果，我们仅把ZFC所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合.不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象.至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质.某个大基数公理说“性质P°不足以描述宇宙之大”，这本身是描述宇宙之大的性质，我们称作P¹，而更大的大基数又说“P¹不足以描述宇宙之大”.如此不断扩展.
同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象.即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙，把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要.重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合.换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾；如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和w之
上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样.因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙.正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性.
哥德尔在[19]的脚注18中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达.
类似地，“集合的性质” (集合论的第二个主要术语)的概念给出关于它的公理的扩展，更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入，由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知).
即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集
言论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙.我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的，这种期望似乎是无矛盾的，事实上，如果
M=CCSMV(ZFC)
并且V=Con(ZFC).那么M∪UM=V.因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突。
总之，如果多宇宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的.下一节中，我将论证，如果多宇宙观强调的是我们对集合概念的理解可以是多种多样的，不存在一种正确的理解，那么这种观点在数学实践上与形式主义并无二致.
【玄宇宙V逻辑多元】
①V逻辑多重宇宙（The V -logic Multiverse〈“集合论多重宇宙”的概念在关于集合论基础的争论中出现并逐渐得到重视。到目前为止，已经提出了几个集合论多重宇宙的概念，所有这些概念都有优点和缺点。Hamkins的广义多重宇宙([4])，由集合论公理集合的所有模型组成，在哲学上是稳健的，但在数学上是不吸引人的，因为它可能不能满足集合论的基本要求。steel的集泛多重宇宙([5])由公理ZFC+Large Cardinals的所有布尔值模型VB组成，在数学上是非常有吸引力和丰富的，但过于局限。特别是，它不能捕获所有可能的外部模型，只关注集合泛型扩展。最后，Sy Friedman的超宇宙概念([2])，虽然在数学上是多才多艺的，并且具有基础性的吸引力，但其主要缺点是假设V是可数的。在本文中，我们引入了集合论多重宇宙的一个新概念，即“V-logic多重宇宙”，它扩展了在超无量纲程序([1]，[3])中进行的数学工作，但也利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的公理化。V-逻辑是一种无限逻辑(一种允许公式和无限长度证明的逻辑)，其语言Lκ+，ω，除了一阶逻辑中已经使用的符号之外，还包括κ-多个常数a，每个常数a∈V。在V-逻辑中，当且仅当M是V的外部模型时，可以保证某些模型M满足关于ZFC+ψ的一致性的陈述，对于某些集合论陈述ψ，当且仅当M是V的外部模型。通过集合强制、类强制、超类强制以及通常任何能够产生V的宽度扩展的模型理论技术获得的模型。因此，通过选择合适的一致性声明，我们可以生成具有特定特征的外部模型M。V逻辑多元宇宙正是V的所有这些外部模型的集合。）
②steel的计划：证据框架、核心和终极-L（Steel’s Programme: Evidential Framework, the Core and Ultimate- L〈我们利用Steel的多元宇宙公理$\mathf{MV}$和“核心假设”，来确定集合论的“首选”宇宙和扩展$\mathf{ZFC}$的最佳公理。在第一部分中，我们考察了$\mathf{MV}$的证据框架，特别是大基数和通过强制“表示”$\mathf{ZFC}$的可选扩展而获得的“世界”的使用。在第二部分中，我们讨论了$\mathf{MV}_T$(其中T是$\mathf{ZFC}$+Large Cardinals)核的存在性和可能的特征。在最后一部分，我们讨论了核是Ultimate-L的假设，并基于这一事实检验了Core Universist是否以及如何证明V=Ultimate-L是$\mathf{ZFC}$的最佳(和最终)扩展。为此，我们考虑了几种策略，并根据$\mathf{MV}$的证据框架评估了它们的前景。〉）
③多元宇宙上的麦蒂（Maddy On The Multiverse）佩内洛普·马迪(Penelope Maddy)最近谈到了集合论多重宇宙，并对其地位和优点表示了保留(Maddy，《集合论基础》，收录于：Caicedo et al(eds)《数学基础》。《纪念休·伍丁60岁诞辰的论文集》，《当代数学》，美国数学学会，普罗维登斯出版社，第2页。本文的目的是利用集合论自然主义的解释框架来考察她的担忧。我首先区分了“多元主义”的三种主要形式，然后继续分析麦蒂的关注。除其他事项外，我考虑了多元宇宙相关数学的突出方面，特别是集合论中的研究项目，其中多元宇宙的使用似乎是至关重要的，并展示了如何根据对“多元宇宙实践”的仔细分析，对Maddy的关注做出回应。④多元宇宙理论中柏拉图主义的消解（Abolishing Platonism in Multiverse Theories）至少在过去二十年中，数学基础中争论的一个问题是，通过依赖于除单个集合论宇宙之外的多个集合论宇宙的存在，是否可以合理地论证处理不可判定的数学问题(例如，连续体假设(CH))的优点，即，与集合的累积层次相关联的众所周知的集合理论宇宙V。多重宇宙的方法有一些不同版本的多重宇宙的一般概念，但我的意图是主要解决本体论的多重宇宙，例如，Hamkins或Vätänen所提倡的，正是因为他们宣称，在一个或另一个程度上，本体论的关注，以引入各自的多重宇宙理论。同时，考虑到Woodin和Steel的多元宇宙版本，我提出了一个反对多元宇宙论的论点，并在一定程度上反对数学基础中的柏拉图主义，主要是基于主观基础，同时关注Clarke-Doane对Benacerraf挑战的关注。我注意到，尽管这篇论文是在反对多元论的技术上构建起来的，但不可忽视的哲学部分在一定程度上受到了现象学观点的影响。11集合论的点态可定义模型Pointwise Definable Models of Set Theory逐点可定义模型是指其中每个对象都可定义，而 在集合论的模型中，这个性质加强了V=HOD，但是 不是一阶可表达的。然而，如果ZFC是一致的，那么 连续化ZFC的多个逐点可定义模型。如果有传递式 ZFC模型，则存在连续体多个逐点可定义传递 此外，ZFC的每个可数模型都有一个类强制 可逐点定义的扩展。 本文认为，Godel-Bernay集合论的每个可数模型都有一个逐点的 可定义扩展，其中每个集合和类都是一阶可定义的 没有参数。12多重宇宙公理的自然模型（A Natural Model of the Multiverse Axioms）如果ZFC是一致的，那么可计数的集合可计算地饱和 ZFC模型满足Hamkins提出的所有多重宇宙公理。13接地公理与V=HOD一致（The ground axiom is consistent with V= HOD）基础公理认为，宇宙不是任何内部模型的非平凡集强迫扩展。尽管这个断言具有明显的二阶性质，但它在集合论中是一阶可表达的。以往已知的Ground Axiom模型都满足V=hod的强形式。在本文中，我们证明了Ground公理与V=hod是相对一致的，事实上，ZFC的每个模型都有一个类强制扩张，即ZFC+ga+V=hod的模型。该方法适用于大基数：例如，每个具有超紧基数的ZFC模型都有一个类强制扩展，其中ZFC+ga+V=hod保留了超紧基数。由Hamkins和Reitz[Rei06，Rei，Ham05]引入的Ground Axiom是集合论的宇宙不是任何内部模型的非平凡的集强迫扩展的断言。即，GroundAxiom断言，如果W是宇宙V的内部模型，且G对于非平凡强迫是W-generic，则W[G]=V。例如，在可构造宇宙L中，在模型L[0#]中，在可测基数的内部模型L[μ]中，在大多数情况下，在核心模型K中以及在集合论的许多其它正则模型中。然而，令人惊讶的是，Ground Axiom并不在所有的正则内部模型中成立，因为Schindler已经观察到一个Woodin基数的最小模型M1是其迭代之一的强制扩展(也见下面的定理4)。尽管GroundAxiom断言具有初步的二阶性质--毕竟，它量化了宇宙的所有内部模型--GroundAxiom实际上是集合论语言中的一阶表达。Reitz[Rei06，Rei]证明了这一点，并在Woodin的文章附录[Woo]中独立地隐含了这一点。这些论点分别依赖于Laver[Lav]最近的工作，利用Hamkins[Ham03]的方法，以及Woodin[Woo]的独立工作，证明了集合论W的任何模型在其所有集强制扩张W[G]中都是一阶可定义为一类的。使用W中的参数。由于定义是统一的，因此可以通过量化在该定义中使用的可能参数来有效地量化V的可能地面模型。Reitz[Rei06，Rei]识别参数的一阶属性，从而允许其成功地定义地面模型。当然，在任何非平凡集强制之后，Ground公理失败，Reitz观察到它在某些非平凡类强制迭代之后仍然可以成立。例如，McAloon[McA71]和其他人很久以前就展示了如何强制2000数学主题分类的强版本。03E35、03E45、03E55。关键词和短语，强迫，基性公理，序数可定义性，V=hod.我们注意到本文作者组成了三代数学：Reitz是Hamkins的研究生，Reitz是Woodin的研究生。14L上强迫Souslin树改变自同构塔的高度（Changing the Heights of Automorphism Towers by Forcing with Souslin Trees over L）我们证明了在可构造宇宙中存在群，群的自同构塔通过强迫是高度可延展的。这是这样一个事实的结果，即在合适的菱形假设下，存在足够多的高刚性非同构Souslin树，其同构关系可以通过强制精确控制。15集合论真理的证据HYPERUNIVERSE计划（EVIDENCEFOR SET-THEORETIC TRUTH AND THEHYPERUNIVERSE PROGRAMME）。⑧在广义多元宇宙中上下移动（Moving Up and Down in the Generic Multiverse）我们简要介绍了一般多元宇宙的模态逻辑。 是一个双模态逻辑，运算符与关系“是一个强制”相对应。 “and”的扩展是“and”的基础模型。 被称为强迫的模态逻辑，我们在早期的工作中研究过。这 第二种关系的片断被称为理由和意志的模态逻辑 这是第一次在这里学习。另外，我们讨论了哪些组合 的模态逻辑对于这两个片段是可能的。⑨集合论的每一个可数模型都嵌入到它自己的可构造性中 宇宙（Every countable model of set theory embeds into its own constructible universe）本文的主要定理是集合论的每一个可数模型 M，包括每个有良好基础的模型，同构于它自己的子模型 换句话说，有一个嵌入的$j:M\到L^M$ 对于无量词的断言是基本的。证明使用通用有向图。 组合数学，包括可数随机有向图的非循环版本， 我称之为可数随机Q阶有向图和更高的类似物 作为不可数的Fraisse极限产生，导致催眠有向图， 集合齐次、类通用、超实数分级的非循环类有向图， 与超现实数字紧密相连。证明表明$L^M$包含 一个子模型，它是秩为$Ord^M$的泛无环有向图。 证明了集合论的可数模型是线性的 按嵌入性预先排序：对于集合论的任意两个可数模型， 它们中的一个同构于另一个的子模型。 由嵌入性在有序类型中精确$\ω_1+1$预先良好有序。 具体来说，可数的有良好基础的模型按嵌入性排序 根据序数的高度；每个较短的模型嵌入 每一个更高的模型；集合论$M$的每一个模型对所有的都是通用的 秩至多$Ord^M$的可数有依据二元关系，且 集合论的病态模型对所有可数的非循环二进制是普遍的 最后，加强Ressayre的一个经典定理，同样 证明方法表明，如果$M$是PA的任意非标准模型，则每个 集合论的可数模型--特别是ZFC的每个模型--是 同构于$M$的遗传有限集$HF^M$的子模式。确实， $HF^M$对于所有可数的非循环二元关系是通用的。⑩集合论多重宇宙（The set-theoretic multiverse）集合论中的多元宇宙观，在这篇文章中被介绍和论证， 是这样一种观点：集合有许多不同的概念，每个概念都在 一个相应的集合论宇宙。相反，宇宙观认为 有一个绝对背景集概念，有一个相应的绝对背景集 集合论宇宙，其中每个集合论问题都有一个确定的 回答。多元宇宙的立场，我认为，解释了我们的经验与 集合论可能性的巨大多样性，这一现象对 宇宙观，特别是，我认为连续体假说 通过我们对多元宇宙行为的广泛了解，确定了多元宇宙的观点 在多元宇宙中，因此它不能再以 以前希望的。
玄宇宙种的高度反射
Sharp/不可辨认生成-真理反射：
例子：0＃存在下的L,可测Vk的无穷迭代
形式：
1.强化Feferman宇宙链：
若V的高度至少是不可达基数，则有初等链：
Vk1→Vk2→Vk3→...→V∞，其中任意i,j∈V∞，都有Vki→Vkj，并且对于任意i∈∞，都有Vki→V∞
2.强不可辨认性
更一般的，对于任意两个n-元组(Wi1,Wi2,Wi3...)，(Wj1,Wj2,Wj3...)，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，都有(Wj1,Wj2,Wj3...)和(Wi1,Wi2,Wi3...)满足相同的，带Wi1∩Wj1中参数的一阶句子
3.高阶不可辨认性：
借鉴亚紧致基数的模式，对于任意位于初等链上的秩ki，kj，用H(ki+)^V与H(kj+)^V满足相同的一阶语句来模拟Vki与Vkj满足相同的二阶语句，考虑带参数的情况，由于ki在H(ki+)中的最大基数地位在H(kj+)中不再保持，正确的带参形式应该是如下的形式：
H(ki+)满足φ(ki)当且仅当H(kj+)满足kj，且存在非平凡初等嵌入j：H(ki+)→H(kj+)，且j(ki)＝kj
高阶不可辨认性在如下意义上得到了“外宇宙链”的支持：
从H(ki+^a)到H(kj+^a)的嵌入不需要在V中，只需要在“真宇宙”中存在即可
4.高阶强不可辨认链：
考虑两个由诸宇宙组成并允许高阶参数的结构：
Wi＝<H(ki0+^α),H(ki1+^α),H(ki2+^α)...>，
Wj＝<H(kj0+^α),H(kj1+^α),H(kj2+^α)...>，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，总有非平凡初等嵌入j:Wi→Wj，且可以带任意通过初等嵌入“对应”的参数
也即是，Wi和Wj满足相同的一阶句子，这等价于两个由宇宙组成的结构满足相同的α阶句子，且带任意通过初等嵌入得到的参数
考虑将语言扩展到更高阶的情况，若语言允许将H(k+^α)视为参数，则得到由宇宙间聚合组成的二重聚合结构之间的正确链，同理，这样的反射可以像任意阶扩展
不可辨认反射中介更少，更直接，并且支持宇宙间关系反射，注意到超宇宙反射需要以On为中介进行多次反射才能将宇宙内的k发送到外宇宙序数Ω，而不可辨认/sharp反射允许将任意有限参数，以及宇宙本身作为参数的句子φ(V*,x1*,x2*...xn*)反射回V中，得到形如φ(Vk,x1,x2,x3...xn)←→φ(V*,x1*,x2*...xn*)的反射结果，也即，存在非平凡初等嵌入(这个嵌入不需要在V中或V*中)j:V→V*，cr(j)＝k，且j(k)＝k*，任意x∈V，都有j(x)＝x*
5.不可辨认生成
称宇宙V是不可辨认生成的，当且仅当：
1.有一个长度为 On 的连续序列 κ0<κ1<... ，使得 κOn=On ，并且有换元初等嵌入 πi,j:V→V ，其中 πi,j 有临界点 κi 且 π(κi)＝κj
2.对于任何 i≤j ，V的任何元素在V中都可以被 πi,j 值域中的元素和 {κ∗:i≤∗<j} 内的元素一阶定义
6.＃-生成
称一个结构(N,U)是一个sharp，当且仅当：
1.N是一个弱ZFC模型(ZFC-pow，替换公理可以换成收集公理)，且存在最大基数k，且k是一个强不可达基数——允许存在这样一种情况，对于任意α＜k，P(α)∈N，但是对k本身则有P(k)∉N
2.(N,U)是amenable的，即x∈N蕴含x∩U∈N
3.U是k上的一个normal超滤，对于任意退行函数f:k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α:f(α)＝β}∈U
4.N是可迭代的，并且任意从(N,U)出发的迭代超幂都是良基的(N自己当然也是)，它们构成一条无界长的迭代链：
(N,U)→(N1,U1)→(N2,U2)→...
对于任意i，j，i＜j，有πij(Ni)＝Nj,πij(Ui)＝Uj
虽然这样的初等嵌入会被宇宙识别为Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以归纳证明其为初等嵌入，证明的核心思想为：
取j:Ni→Nj为Σ1初等嵌入，对于任意Σ1语句φ，Nj满足任意x，φ(x)，则存在Vα^Nj，任意x∈Vα^Nj，φ(x)，由于j为共终嵌入，因此存在β∈Ni，j(β)＞α，选取对应的β，使得Nj满足，任意x∈Vj(β)^Nj，φ(x)，则由于有界量词句子的复杂度为△0，Mi也满足任意x，φ(x)
称宇宙V为＃生成的，当且仅当存在一条长度为V的高度的迭代链：(N,U)→(N1,U1)→(N2,U2)→...，且V等于Vki^Ni(i∈∞)的联合
可以知道，这两个定义是等价的
7.SIMH＃+LCA
1.强＃-最大化
称宇宙V为强＃-最大化，当且仅当：
·V是＃-生成的
·对于任意＃-生成的V的外模型V*,若一个带有参数ω1,ω2的句子在V*的一个尊重参数的内模型上成立，则它也会在V的一个内模型上成立
2.称V满足SIMH＃，当且仅当V是强＃-最大化的
3.+LCA
如果存在无界多武丁基数和在此之上的一个不可达基数，则对于语句φ，若φ被Vk(k为可测基数)满足，则存在一个传递模型同时满足SIMH＃+φ
具体建构为：取(H(k+),U)为N0，则由于k为可测基数，N0为一个sharp，将N0迭代到足够的高度，得到WF(N∞)＝M，使得M包含见证SIMH＃成立的A，同时，由于Vk∞是初等链的联合，Vk与Vk∞共同满足φ
Sharp以自己的方式容纳了任意强的大基数公理
8.(缝合怪)Ω-SIMH＃+LCA
1.Ω-SIMH
假设存在一个给超紧基数的弱扩张内模型(简称终极内模型，LΩ)
对于任意带参数(ω1,ω2)的一阶命题φ，若φ在V的某个尊重参数的外模型中成立，则它也在V中的某个终极内模型LΩ(φ)中成立
2.Ω＃
正如L是不可辨认生成的等价于0＃存在等价于存在L到L的非平凡自嵌入。我们不妨假设对于任意终极内模型LΩ(*)，LΩ(*)是不可辨认生成的当且仅当存在LΩ(*)的非平凡初等自嵌入。这似乎暗示了某种Ω＃的存在，也即暗示了V＝LΩ的失败，但正如＃-生成可以与V＝L共存一般——只要那个见证V≠终极L的初等嵌入在V之外。我们可以设想存在任意多个满足V＝LΩ(*)的宇宙V，它们都可以通过某个sharp迭代到足够多步之外，以至于最终得到的ZFC模型M满足SIMH＃，这样得到的M可以称为(由LΩ(*)生成的)终极V。
正如终极L的非唯一性，如此生成的终极V也是不唯一的。
ZFC集合论
(1) 外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等的。
(2)分离公理模式：“对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合Y，使z∈Y 当且仅当z∈X而且P(z)为真”也就是说：若X是一个集合，那么可以断定，Y={x∈X|P（x）}也是一个集合。
(3)配对公理：对任意a和b是对象，则存在一个集合{a，b}，其仅有的元素是a和b。也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。
(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。
(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。
(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统
(9)选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合C，使对所给的族中的每个集合X，集合X与C的交恰好只含一个元素
以上为ZF集合论中的各种公理
集合{}符号
给定任何集合A和任何集合B，A=B，当且仅当【给定任何集合中的元素x，x∈A当且仅当x∈B。】（这里的x是集合不是本质性的，但在ZF中所有东西都是集合
集合１＝{ 集合２，集合３, ...}
例如s ＝{{ },{{ }},{{ },{{ }}}}
zf里只有空集和嵌套空集其它集合均为各种空集的编号
a={∅}=1b={{∅}}={1}=2c={{∅},{{∅}}}={1,2}=3
s={1,2,3}={∅,{∅},{{∅}}}
∈符号
集合S∈集合T
a∈bａ属于ｂ集合a是集合b中的一个元素/子集
其它符号如∪，⊆，＝……之类，由上面2个原始符号用公理推导出
ZFC集合论公理
【１】外延公理：
∀ａ∀ｂ(∀ｔ(ｔ∈ａ↔ｔ∈ｂ)→ａ＝ｂ)
构建等号＝
（t属于a当且仅当t属于b）所以a＝b
ｔ在ａ中绑定ｔ在ｂ中，则ａ和ｂ的元素相同
【２】空集存在公理：
∃s∀ａ(ａ∉s)
s＝∅构建空集
对于所有可能的aa全都不属于是，s存在
所以r只能是空集
【３】无序对集存在公理：
∀ａ∀ｂ∃s∀ｔ(ｔ∈s↔(ｔ=ａ∨ｔ=ｂ))
构建不超过二元的无序集
(存在s 以t为元素)当且仅当当(t是a或者b)
t在s里面，且a，b只能二选一s当然只有2个元素
其中s={a,b}二元集合
一元：a=b时s={a}
拿到上面新做好的空集∅
假设1a=b=∅，S1={a}={∅}
假设2a=∅，b= S1={∅}，S2={a,b}={∅,{∅}}
重复假设1可得无数个一元集合{∅}，{{∅}}，{{{∅}}}.....
重复假设2可得无数个二元集合{∅,{∅,{∅}}}，{{∅,{∅}},{∅}}......
【４】并集存在公理：
∀ａ∃ｂ∀ｘ(ｘ∈ｂ↔∃ｙ(ｘ∈ｙ∧ｙ∈ａ))
构建∪符号
存在b以x为元素当且仅当存在y 以x为元素并且y属于a
a的元素的元素是x，单独考察某个a。对于某ａ∃b和∃y是有些区别，ｙ被y∈a所限制，ｙ的个数＝某ａ的元素个数y1～yn每个y对应一些元素ｘ，而ｂ没有被限制。无论假设几个ｂ，ｂ的元素都是一样的。所以ｂ是唯一的，ｂ的元素是所有ｘ
例如y1={x1,x2}y2={x3,x4}
a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }
所以b={x1,x2,x3,x4}
写法∶广义并：b＝∪a，b＝∪{y1,y2}，常规并：b＝y1∪y2
建造完∪，就可以用之前的二元集合来创建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}
【５】子集公理｜分离公理模式：
∀ａ∃s∀ｘ(ｘ∈s↔ｘ∈ａ∧Ｐ(ｘ))
用关系公式Ｐ表示集合，存在s以x为元素，当且仅当ｘ属于ａ并且ｘ满足Ｐ条件 ，ｘ是ａ中所有满足Ｐ条件的元素由于是充要推导所以ｘ也都属于s，s是ａ的子集用Ｐ条件从ａ里分离出来
如此得到新的集合表示方法ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)∧（ｘ∈ａ）｝，ａ可以是任意集合
ｘ∈ａ可以隐含在Ｐ(ｘ)里ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)｝
例如交集，并集的定义
｛ｘ：ｘ∈ｄ∧ｘ∈ｃ｝＝ｃ∩ｄ
｛ｘ：ｘ∈ｄ∨ｘ∈ｃ｝＝ｃ∪ｄ
【６】幂集公理：
∀ａ∃ｐ∀ｂ(ｂ∈ｐ↔∀ｔ(ｔ∈ｂ→ｔ∈ａ))
构建幂集，(存在p 以b为元素)当且仅当(b是a的子集)
后半部∀t(t∈b→t∈a)是子集的定义
对于所有t，（t属于b一定有t属于a）所以b是a的子集 同b⊆a
将ａ的所有子集b１～ｂｎ装进ｐ里，这个ｐ称做ａ的幂集
ｐ＝Powerset（ａ）＝｛ｂ：ｂ⊆ａ｝
例如｛2，3｝的幂集｛∅，｛２｝，｛３｝，｛２，３｝｝
ａ的各元素ｔ自由组合成子集，ｎ个元素集合的幂集有２的ｎ次幂个元素
【７】无穷公理：
∃ｓ（∅∈ｓ∧∀ｘ（ｘ∈ｓ→（ｘ∪｛ｘ｝）∈ｓ））
可以用来构建自然数
存在某ｓ（ｓ中至少有空集）并且（ｘ属于ｓ一定有ｘ和｛ｘ｝的并集也属于ｓ）
用元素ｘ来递归创造无数元的集合ｓ，（ｘ∪｛ｘ｝）称为ｘ的后继ｘ＋
x属于ｓ，则ｘ的后继也属于ｓ，每个ｘ都会对应一长串后继，这种ｓ也叫归纳集
不是任何元素后继的元素就是初始元素
假设ｓ中的初始非后继元素只有一个∅这种ｓ＝ω称做最小归纳集
那么∅就是起始元素０＝∅１＝∅∪｛∅｝＝｛∅｝
２＝｛∅｝∪｛｛∅｝｝＝｛∅，｛∅｝｝
３＝｛∅，｛∅｝｝∪｛｛∅，｛∅｝｝｝＝｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝
这个ω可以用来象征自然数集合｛０，１，２，３．．．．｝
３为２的后继4为3的后继．．．．
【８】替换公理模式：
∀x∃!y Ｐ(x,y) → ∀m∃n∀b（ｂ∈ｎ↔∃ａ（ａ∈ｍ∧Ｐ(a,b)））
可以用Ｐ规则将ａ映射／替换为ｂ
如果P为函数 则→(存在n以b为元素当且仅当 (存在a使 a属于m且满足P(a,b)))
函数P在m限制下P的定义域domP被m缩小因为P的参数a只能在m中取值了 不再∀x。被缩小后的函数记做(P↑m)函数(P↑m)的值域ran(P↑m)称做P在m下的象
ran(P↑m)＝{b:∃a(a∈m∧P(a,b))}＝ｎ
公理声明：任意给定的集合ｍ和函数ＰP在m下的象一定存在且形成一集合ｎ
前半部是对函数的筛选∃!y表示只存在一个ｙ
∀x∃!y P(x,y)等价于∀x∃y（P（x,y）∧∀t（P（x,t）→ｔ＝ｙ））
关系 P（x,t）对于某ｘ所有的ｔ都只能等于ｙ，ｔ只有唯一对应。这样的关系P（x,y）叫做Ｐ函数。Ｐ关系与Ｐ函数的区别：每个参数ｘ只对应出一个ｙ，Ｐ为函数。每个参数ｘ可对应出多个ｙ，Ｐ为关系，关系大于且包括函数概念。
【9】正则公理：
∀ｓ（∃ａ（ａ∈ｓ）→∃ａ（ａ∈ｓ∧∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）））
可以用来去除一些无限套娃类的写法
（对所有非空集合s存在元素a）一定会→（存在元素a而且a与s交集为空）
后半部∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）等价于交集为空
对任意t元素t属于a一定有t不属于s所以a和s无共同元素a∩s＝∅
前半部∃ａ有声明ａ元素存在，说明只讨论ｓ不是空集的情况。也就是∶正则公理要求。非空ｓ中要存在某元素与ｓ自身交集为空。ａ称为ｓ中的∈极小元，∈关系是良基的。极小元要求ａ只可以属于ｓ中的其它元素但不可以把ｓ中的元素拿来给自己当元素。所以a和s无共同元素，a∩s＝∅，这样就保证ａ是ｓ中这些∈关系链的最底层，不会出现无限循环嵌套的情况。例如ｓ＝｛ｓ｝＝｛｛ｓ｝｝，ｘ∈ｙ∈ｚ∈ｘ之类的写法都和公理冲突
【10】选择公理：
∀x(∀a( a∈x→a≠∅)→∃f( Fun(f)∧∀a( a∈x→f(a)∈a)))
创造选择函数
(a在x中 一定致 a不为空)则→((存在 f为函数)且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))
Fun(f)是一个函数判断模块，当ｆ是函数时Fun(f)=真;ｆ不是函数时，Fun(f)=假。ｘ是一个由非空集合组成的集合ａ是ｘ中某个非空集。f(a)称做选择函数f(a)可以选取ａ中的某个元素。选择公理宣称对于非空集的选择函数一定存在。通常一个无限的，元素没有识别特征的集合靠枚举和特征公式都选不出元素来，只能随机选取一个但数学是用严格的逻辑和演绎来搭建的，无法产生真正的随机，所以这个公理假装随机是存在的。这个公理不是公理模式和替换公理不同所以模块Fun(f)的内部结构会复杂一些。
Fun(f)⇔∀t(t∈f →(∃m∃n(t=＜m,n＞) ∧ ∀m(m∈dom(f)→∃!n(＜m,n＞∈f)) ))
t满足f 则→((存在有序对＜m,n＞=t)并且(对任意f定义域中的m→只有1个值n满足f))
一个定义域中的ｍ只对应一个值域中的ｎ正是函数的定义
其中ｆ的定义域dom(f)模块的内部结构:
dom(f)⇔{ m: ∃n(＜m,n＞∈f) }另外值域ran(f)⇔{ n: ∃m(＜m,n＞∈f) }
＜m,n＞＜x,y＞之类表示有序对有序对也是亠种特殊的集合元素之间有顺序
＜m,n＞ ≠ ＜n,m＞而无序对{m,n}＝{n,m}
有序对可以转化为普通集合的写法:＜m,n＞＝{{m},{m,n}}
其中一个元素是另一个元素的子集这样两个元素的先后顺序就被记录下来了
另外函数ｆ和关系ｆ也都是一种集合ｆ是一种以有序对为元素的集合
例如ｆ＝｛＜x1,y1＞, ＜x2,y4＞, ＜x3,y1＞, ＜x4,y2＞.......｝
f中记录了每个x与y的映射关系
x1～xn 全在定义域集合domf中
y1～ym 全在值域集合ranf中
f(x)是求f中ｘ的对应值f(x)=y
公理中的＜m,n＞∈f写法就表示ｍ和ｎ是满足ｆ的一对组合
【超维度】
世界基数终极V：
这是一种远在玄宇宙V逻辑多元，玄宇宙计划，超宇宙计划之上的数学无是V的扩展模式，相对于民科来说的话就是无限阶V了。世界基数终极V并不是世界基数公理系统模型构造，而是一种远超祂的数学无限。世界基数本身的定义就是Vk对ZFC封闭，也就是如果没有世界基数，那么V的高度，也就是V的序数类就是世界基数，即绝对无限的下限。它是zfc+word的减缩版本，玄宇宙的本身为五阶V但是祂超越了无限阶V。世界基数绝对V的本身是无上限的，而V的无上限在世界基数中被拥用着。世界基数的模型也仅仅是公理系统内的模型，这个模型远远达不到世界基数本身。世界基数终极V便是接近康托尔绝对无限的一个人定义 世界基数终极V本身的，同时也是对于数学的封锁。世界基数终极V在一定意义上可以封锁其他的基数，所谓的大基数和集合论宇宙在世界基数终极V中也只是概念。虽然目前为止数学家并没有证明出世界基数终极V的上限，但是世界基数终极V是存在的，不像终极L那样只是被提出来的一个模型，而没有任何数学家的证明。世界基数终极V可以运用ZFC对于数学进行无上限的封锁，而它本身就是无上限的。
不可达基数绝对无限V：
来自于康托尔所创造的概念，康托尔创造了绝对无限这个概念，而不可达基数绝对无限V便可以打开康托尔绝对无限门槛。雨世界基数终极V相同，不可达基数绝对无限V也并不是那单纯的存在于公理系统内的公式构造 而是一种比它更广阔的数学概念，并且不可达基数绝对无限V超越了世界基数终极V ，它是集合论的终极尽头同时也是真正扣开绝对无限的数学概念。它是ZFC+Word在证明绝对无限上的延伸，与世界基数终极V一样，不可达基数绝对无限V的存在也是无上限的。康托尔证明了不可达基数的不可达性和无上限性，并钻研出了绝对无限的终极数学概念。后续的集合论和大基数概念都建立在康托尔的概念上，因为绝对无限是可以不断延伸的所以不可达基数绝对无限V也是可以的。不可达基数的不可达性超越了其他的大基数，且在一定程度上比其他的大基数更有证明性和说服性。民科有超越数学这种说法，而不可达基数绝对无限V便相当于民科的超越数学。不可达基数绝对无限V超越了民科的终极无限阶V，它是目前为止最接近与绝对无限的数学概念，因为是康托尔本人所证明的理论，所以它具有崇高的真实性和最高的说服力。康托尔证明不可达基数绝对无限V便是通往绝对无限的数学理论，可以研发出绝对无限的本身。因为绝对无限本身的定义就是不可达的，而不可达基数也是如此，无上限性与不可达性都是不可达基数的性质，目前人类的数学并未证明出有存在比不可达基数绝对无限V更广大，相比而言除了Ω逻辑外已经没有基数概念与不可达基数那样可以证明绝对无限的存在。
Ω逻辑：因为用V无法直接证明绝对无限本身的存在，因此需要用Ω逻辑来证明。Ω逻辑本身便是康托尔绝对无限的证明，它比不可达基数绝对无限V更能够直接证明康托尔绝对无限。虽然V是无上限的，但是他无法直接证明绝对无限，而因为Ω逻辑本身就是绝对无限所以它可以直接证明。Ω逻辑超越了ZFC公理，可以更直接的证明绝对无限。因为Ω表示的就是绝对无限所以Ω逻辑就是绝对无限逻辑，而绝对无限逻辑可以达到绝对无限，可以进一步证明绝对无限的存在。Ω可以直接证明绝对无限本身，无限的概念在Ω上被直接的证明，也就接触到了绝对无限概念本身。
这个概念不要与ω-逻辑混淆，在集合论中，Ω逻辑是W.Hugh Woodin（1999）提出的一个无限逻辑和演绎系统，作为推广点类的确定性理论以覆盖结构H_。正如射影确定性公理产生了｛\displaystyle H_｛\aleph_｛1｝｝H_｝的正则理论一样，他试图找到能给出更大结构的正则理论的公理。他提出的理论涉及一个有争议的论点，即连续体假说是错误的。
Woodin的Ω-猜想断言，如果存在一类适当的Woodin基数（由于技术原因，理论中的大多数结果在这个假设下最容易陈述），那么Ω-逻辑满足完备性定理的类似。从这个猜想可以看出，如果有任何一个公理在Ω逻辑中是全面的，那么它必然意味着连续体不是。Woodin还孤立了一个特定的公理，即Martin最大值的变体，该公理指出任何Ω-一致的｛\displaystyle\Pi_｛2｝｝\Pi_{2｝（在｛\ddisplaystyleH_；这个公理意味着连续体是｛\displaystyle\aleph｛2｝｝\aleph｝。
Woodin还将他的Ω猜想与一个提出的大基数的抽象定义联系起来：他认为“大基数性质”是序数的｛\displaystyle\Sigma\｛2｝｝\Sigma_｛2}性质｛\ddisplaystyle P（\alpha）｝P（\alpha），这意味着α是一个强不可访问的，并且在小于α的基数集的强迫下是不变的。那么Ω-猜想意味着，如果有任意大的模型包含一个大基数，这个事实在Ω-逻辑中是可证明的。
该理论涉及Ω有效性的定义：如果一个语句在T的每个模型中都成立，则它是集合论T的Ω有效结果，该模型的形式为｛\displaystyle V_｛\alpha｝^｛\mathbb｛B｝｝｝｝V_。这个概念在强迫下是明显保留的，并且在存在一类适当的Woodin基数的情况下，它在强迫下也是不变的（换句话说，Ω-可满足性在强迫下也保留）。还有一个Ω-可证明性的概念；[1] 这里的“证明”由普遍的Baire集组成，并通过验证对于该理论的每个可数传递模型和模型中的每个强迫概念，该模型的一般扩展（如在V中计算的）包含“证明”来检验，该“证明”限制了其自身的实性。对于证明集a，这里要检查的条件称为“a-闭合”。复杂度测度可以通过它们在Wadge层次中的秩在证明上给出。Woodin证明了“可证明性”的概念意味着V上的｛\displaystyle\Pi_｛2｝｝\Pi_{2｝｝句子的Ω有效性。Ω猜想表明该结果的逆命题也成立。在目前已知的所有核心模型中，它都是真实的；此外，大基数的一致性强度对应于“证明”基数存在所需的最小证明秩。
