“请阐述不动点的一种定义，以及其在序数中的一项运用”
元思考片刻，开始作答
不动点是一个函数术语，在数学中表示“被这个函数映射到自身的一个点”。什么意思呢，就是当你对函数进行有限次的迭代后，其输出值会固定在一个定点上，这个点就是不动点（当然也不是所有函数都有不动点，不如f（x）=x+1）在拓扑中，它表示假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。
不动点在序数上是一个运用
我们知道，序数可以被延展到超限序数领域，例如ω，ω*2，ω^2等，而这一切最终会达到ω↑↑ω。然而，当我们想要通过函数（其实就是一种增长的方式）来继续向上攀登时，我们发现无论怎么攀登，都会卡在ω↑↑ω这个不动点上，因此ω↑↑ω是一个不动点。为了跨越这个不动点，我们定义新的ε序数
定义有ω^ε=ε
最小的ε序数是ε0=sup｛ω,ω^ω,ω^ω^ω,...｝,它跳过了ω↑↑ω这个不动点，我们在这里遇见的是第一个不动点，于是这个序数也可以用φ（1，0）来表示
而下一个ε序数，ε1=sup｛ε0+1，ω^(ε0+1)，ω^ω^(ε0+1)，..｝，由此，我们可以得到通式
ε0=ω↑↑ω=sup｛ω，ω^ω，ω^ω^ω，...｝
ε(a+1)=sup{εa +1,ω^(εa +1),ω^ω^(εa +1),...}
元提交了答案
顿时，下一题涌现而出
“给出φ函数的定义”
好了，不会，查资料
φ（0，a）=ω^a
φ（b，c）=min｛γ|∀δ＜b（φ（δ，γ）=γ）∧∀δ＜c（φ（b，δ）＜γ）｝
简单来说就是用来统计不动点的
我们来看看
ε0=φ（1，0）
ε1=φ（1，1）
...
εω=φ（1，ω）
εε0=φ（1，ε0）
...
εεεε...ε0=ζ0=φ（2，0）
以此类推，ζω=φ（2，ω）
...
ζζζζ...ζ0=η0=φ（3，0）
像这样不断的到达一个序数运算的尽头，然后把他替换成另一个基本序数，进行ω次后，便得到了这个φ（ω，0）
同时，存在sup｛φ(1，0)，φ（φ（1，0），0），φ（φ(φ（1，0），0），0）...｝=φ(1，0，0）=Γ0
好了直接提交
元看着下一道出现，他感觉有些疲惫，但是还是继续坚持着
“请给出inaccessible cardinals（不可达基数）与马洛基数的定义”
元迟钝了一下，继续开始回答
不可达基数
如果k是不可达的，正则的极限基数，那么称k为弱不可达基数
如果k是不可数的，正则的强极限基数，则称k为强不可达基数
就算是弱不可达基数，也无法从更小的基数通过任何运算（加法，乘法，乘方，高德纳箭头，康威链...取极限）来到达
同时，每个强不可达基数都是弱不可达基数
∵λ+≤2^λ
∴ if k is weak inaccessible Cardinals，k_a is strong inaccessible cardinals,then
k_a⊂k
在GCH成立时，强不可达基数=弱不可达基数
则k=k_a
好了，接下来是马洛基数
（马洛我不是特别会，所以只能简略将一下）
以下为马洛基数的介绍
马洛基数:又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是，最小不可达基数κ，需要满足cfκ=κ，a＜κ→2^a＜κ的基数，一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数，一个超不可达基数就是κ-不可达基数，每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，κ是κ-马洛基数。
简单来说就是存在集合S，k，当S和k的所有无界闭子集相交不空时，称S⊂k为k的驻集
称k为马洛基数，当k中的正则基数构成k的驻集
元填写完了答案
下一题出现了，元的精神有一次衰退，只能靠牢固的意志来支撑着
下一题涌现而出
“可测基数满足v=l吗”
元开始继续强撑着做题
可测基数的定义如下
集合S上的一个二值测度(a two-valued measure)μ是指一个定义在S的幂集P(S)上的函数，对于每一x∈P(S)，μ(x) =0或μ(x) = 1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素(在μ下) 的值为0，则μ(UΣ)=0。测度μ称为非不足道，如果U(S) =1，并且对于S的每一有穷子集x，μ(x)=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数(measurable cardinal)
首先我们有一个推论，即可测基数是一个不可达基数，因为可测基数有以下定义
κ是可测基数(Measurable cardinal)的充要条件为κ＞ω且κ上有二值κ-可加非平凡的测度，或者说κ可测κ上存在κ-完全的非主超滤。
那么通过这个，我们可以得到可测基数为不可达基数的推论
至于是否满足v=l，这里可以引用一个定理来简单的解决（元之前查资料看的，他大基数有一大半会了）
定理（scott）如果存在一个可测基数，那么V≠L（L中只存在可数个大基数）
秒了（真正原因是：我不会，我只是知道这一点。
实际上，虽然宇宙本身不能同时满足可测基数和可构造假设（v=l），可构造假设可以作为这个宇宙的内模型从而使可测基数同时成立，这是我群友说的，不是我，我不会）
下一道题出现
“请简单介绍一下力迫法”
力迫法是paul Cohen与1963年发明的一种构建集合论的模型时可使用的一种强大的方法。在那时，它被用于证明CH的独立性。他阐述了ZFC中CH不成立，从而证明了CH在ZFC中的不可证性
大概的方法就是往模型里硬塞自然数集合，然后通过选择适当的自然数集合来强迫合成后的集合满足人们想要的命题（只了解这么点，其他我不会（大声））
集合论模型是一类集合，如果我们使得集合X中的任何集合都符合ZFC公理，那么我们就说X满足ZFC。在这之后如果我们证明M同时既满足也不满足一个定理或猜想A，那么我们说A无法在ZFC中被证明。
（关于一个这一部分可以去看看哥德尔的不完备定理
第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明
什么意思呢，第一定理大致就是，对于一个满足一定条件的系统，一定存在一个既无法在这个系统内完全被证明为真也完全无法证明为假的命题，换句话说，即使这个命题是真的，你也无法在这个系统内把他证明出来，这在当时引起了很大的轰动，因为它干碎了希尔伯特对于他的23问题能被解决的期望，同时，他说明了ZFC系统是不完备的这一点能被第二定理所证明，举例：CH，GCH）
最后一题在元疲惫的睁开眼皮时，出现了
“你这一生的最终目标是？”
元的精神猛然一振，他看着这一句话，回忆起了往昔的种种：
“元，一起去吃饭吧（.ω.）”她蹦蹦跳跳的来到元身旁，小鸟依人一般的靠在元的肩膀上，清脆悦耳的声音随着风飘进了他的耳中
“好了好了，这就陪你去”元缓缓站起身，握着她那冬日里的太阳一般温暖，天空中的云朵一般轻柔的小手，向着食堂走去
他和她自幼时相识，那时她的家庭充斥着混乱与猜疑，她作为一个小孩子，无法承受永无止境的责骂和冷嘲热讽，于是躲到了外面，那是他第一次见到她，十分瘦弱，蹲在一颗流苏树下，拨弄着几颗石子，她的脸因营养不良而发黄，失去了原有的光泽，但那一对眸子，深深的吸引着元，那是一对怎样美丽的眼瞳，就像是在那深邃又黑暗的宇宙中，散布着几点闪耀的星光；就像是在暗淡的黑夜里，冒出的一小缕火焰，虽不明显，但却无比吸引人。元救了这名无路可走的少女
他们一起长大，一起玩耍，一切悲伤，一切哭泣。
元希望这种美好的日子能够永远存续下去
直到那一天
....
［灾］...!
我要把你，化为灰烬!
元满怀着倾天的痛苦与怨恨，写下了答案
“诛灭所有的灾，直到生命的尽头”
幻境消散，元慢步走向正在一边等候的献
元此时最想搞明白的，是献到底和他有什么关系
在第一次遇见献时，元的心里就自动浮现出了献的名字，而且似乎是...在遇见他时被强行降智了一般，不经任何思考就答应了他的所谓试炼
献，到底是谁
元此时虽然感受到自己体内已经有着一股强大的力量，但是他并没有完全的把握完全战胜献（在元如果问不出献任何信息而被迫使用武力来使献交出元想要的信息的情况）
元翻遍了自己所有过往的记忆，也无法找到一丝跟献有关的痕迹，他谨慎的问道：“你是...”
“看来你还是忘了我，但没关系，我重新介绍一下我自己吧。”献叹了口气，随后认真地开口自我介绍道：“我的名字是献，奉献的献，曾经...是你的...也许是朋友吧。”
朋友？元可没有记得自己有过这样一个朋友，就算是换了名字那些人他也能全部认出来...他们是同生共死的兄弟，他们命运的丝线早就牢牢的缠在了一起。
“我可不记得我有这么个朋友.”元质疑道
“你当然不会记得，那一段历史早已被埋藏在破碎的废墟世界里，也没有必要再追溯了...”献好像是想起了什么悲伤的过往，转过身，缓缓离开
“既然你想要为他们报仇，我会帮你
在靠近这个世界的边缘，有另一个世界，他们正在与［灾］苦苦斗争，去与不去，取决于你自己”献的声音逐渐变得缥缈，直到完全消失
元一听到灾，直接ptsd了
他毫不犹豫的转身便离开这个地方，一步踏出，直冲世界的边缘。（元已经变强了，只是他没意识到自己有多么强现在）（这个世界是一个无限大的废墟世界）
在刺眼的光芒消失之后，元来到了另一个世界。
雾
全都是雾
元从地上爬起，他好像掉在了一处由大雾弥漫的森林中，他猛然一振，抱着头痛苦的倒在地上打滚，片刻以后，他安静了下来，重新站了起来
“那个献...，恐怕有什么精神类能力，这已经是第二次我被强行降智了...”元一手撑着脑袋缓缓站起身，看向远方，“现在这个不重要，先离开这里再说 ”元向迷雾森林中走去...
元一直向前，却走了回来
他看着自己在树上刻下的第7个标记，连连叹气道：“这鬼地方怎么走也出不去，看来只能使用一点非常规的方法了”说罢，他便一大口吐出所有的气，接着，开始大规模吸气，那漫天的迷雾，此时好像是面条一般，顺着元的喉咙被吸入了他的肺中
元的肺容量好像是无穷无尽一般，几乎是附近所有的雾气都被吸入了他的肺中，也就是同时，他看见了一直困着他的这鬼打墙的真相
那是一只长满触手和眼睛的不可描述的怪物，所谓的“森林”只是它的一根根卷起来的触手在迷雾的掩饰下拟态而成的
所谓的鬼打墙，只是元在它的触手环上不停的循环罢了
这只巨怪的身体无比庞大，好入一座山脉一般，或许，可以拿雁荡山脉来与之比拟
（南北雁荡之和）
那只不可描述的巨怪臃肿的口器中逐渐发出了模糊且不可辨认的杂声
“姑法克鱿控股集团几个几个还差几个有几个被姑互相依稀洋葱电影材料化学噗发现你要多久率对好浪费CPU店铺富贵ivuvuφ就？吗≤Γ≤(οԾ‸Ծεω|：κ（∈♪（）ξ％α...)”
元被这个嗡嗡作响的怪物烦到了，他想立刻离开这里，但是就在他准备跳下触手环的那一刻，他突然看向了另一根触手
“救命啊...捂捂...救命..误...噗呲砰”一个绝望的男孩被触手卷起，然后，扭爆了
元的脸色彻底变了
他又想起了一些不好的记忆，元的其中一个至交好友，就是被［灾之虫］以这样的方式残忍的杀死的
元的瞳孔开始收缩，并且眼睛逐渐弥漫着血色的纹路
“［灾］!我要把你，碾为齑粉!”
元的身体瞬间被血红色的火光覆盖，那冲天的烈焰迅速点燃了巨怪的身体，巨怪发出了惨烈的叫声
元的愤怒已经无法止息了，他缓缓抬起左拳，带着足以破碎虚空的庞大力量向巨怪冲击而去
“给我.....死!!!”元怒吼着，仅仅是这外溢的声音气息就将方圆10^7里内纵跨接近20米深的地域内除巨怪外所有的事物化为灰烬，并迅速消散
那撕碎一切的拳头无论巨怪怎么躲避，终究还是打在了它身上
顿时间，一重又一重的炎浪与冲击波向外喷涌而去，那拳的威力之大竟然将内部的轻元素物质打到发生了聚变，形成了一个恐怖的宏伟火球，好似第二个太阳一般照耀着这片破碎的世界
许久过后，太阳消散，元从天空中落下，却是令人惊奇的毫发无伤，而那巨怪早已消失在哪惊天动地的一拳当中，元此时感觉自身的愤怒还没有平息，但他不想再对这片土地造成过大的破坏，但仅仅是元掉落在地上的威力（缓冲过后的），就造成了一个5*10^6里宽，5*10^3里深的超级大坑（这还是在那一拳已经造成了整片大陆的破坏的情况下），元缓缓站起身，他还没有接受自己获得了如此强大的power，不过，只要能够杀掉［灾］，元什么都能接受
元离开了那一片迷雾，向着外部微弱的光的方向离开，身后的大地早已全部崩裂，上层的部分早已被碾为齑粉，随风而散。方圆2*10^9里内，都是如此，形成了一个巨大的半圆形空洞，元从洞中彻底爬出，看向远处，有几束光艰难的穿透雾气，向这边逃逸过来，并随着时间有规律的转动方向，似乎，是个灯塔?
元继续前行，终于在视野的尽头望见了一座古旧的机械风城市，在城楼之上，四个超大的探照灯不断的转动，散播微薄的光芒，元向那里走去。
元经历了漫长的距离后，终于抵达了那一座城市，城外的拾荒者陆陆续续的进入城市，元见状也伪装了一下跟了进去
城门负责看守的士兵一个个也无精打采的，瘫坐在地上打瞌睡，这令元眉头紧皱，这样的人能挡住之前遇到的那些［灾］吗，他叹了口气，继续随着众人行进。
元随着人群进入了城市，随后找个时机脱离了他们。他在街上走着，看着这个饱受［灾］侵蚀的城市发展的如何。这时，路边传来一阵绝望的呼救声，“救命啊....我不想死....谁能救救我...”一个瘦弱的小孩突然被一只从底下钻出的蜈蚣型［灾之虫］用节肢抓住，下一刻就要被脑部爆汁，元瞬间反应过来，进入状态，“［灾］!还敢在我面前杀人，给我死!”然而未等他发力，元那磅礴的气场就直接将［灾之虫］挤爆，小孩从空中落下，被元接住，空中［虫汁］如雨一般落下，但都避开了元。
那个小孩大口喘着气，看向元，眼中冒出了星光，“大哥哥，你好强啊，谢谢你救了我”，元轻轻的把他放下，“你是我的救命恩人，我有什么能够帮你的吗?”“你知道最近的［灾］在哪吗”元问道，那小孩浑身瞬间一颤，小心翼翼的答到“大哥哥，你不要去送死啊，我们刚刚遇到的［灾］是最弱的那一批，你不要就想着以为是其他和他们一样实力就去盲目的战斗，我...不想你死在这里”
“没事的，你只要告诉我在哪就行，会赢的(●—●)”元站起身，坚定的说到，“对了，忘记做自我介绍了，我叫［闲听七子落花灯 ］，你可以直接叫我闲落。对了，大哥哥，你是怎么拥有这么强大的［源］力量的?”［源］?那是什么，元对此毫无头猪。“我不知道［源］是什么，我只是靠肉身把它干倒的（实际上跟本没用力）”闲落的瞳孔迅速扩张，“仅仅肉身就如此强大吗，真是恐怖如斯”
在这之后，他边走边向元介绍了［源］
